Dacă îți plac ciudățenile matematice, îți va plăcea triunghiul lui Pascal. Numit după matematicianul francez din secolul al XVII-lea Blaise Pascal, și cunoscut chinezilor de multe secole înainte de Pascal drept triunghiul Yanghui, este de fapt mai mult decât o ciudățenie. Este un aranjament specific al numerelor, care este incredibil de util în algebră și teoria probabilităților. Unele dintre caracteristicile sale sunt mai uimitoare și mai interesante decât utile. Ele ajută la ilustrarea misterioasei armonii a lumii, așa cum este descrisă de numere și matematică.
Regula pentru construirea triunghiului lui Pascal nu ar putea fi mai ușoară. Începeți cu numărul unu de la vârf și formați al doilea rând sub acesta cu o pereche de ele. Pentru a construi al treilea rând și toate rândurile ulterioare, începeți prin a pune unul la început și la sfârșit. Derivați fiecare cifră între această pereche de adunări adăugând cele două cifre imediat deasupra ei. Al treilea rând este astfel 1, 2, 1, al patrulea rând este 1, 3, 3, 1, al cincilea rând este 1, 4, 6, 4, 1 și așa mai departe. Dacă fiecare cifră ocupă o cutie de aceeași dimensiune ca toate celelalte cutii, aranjamentul formează un perfect triunghi echilateral mărginit pe două laturi de unii și cu o bază egală în lungime cu numărul rândului. Rândurile sunt simetrice prin aceea că citesc la fel înapoi și înainte.
Pascal a descoperit triunghiul, cunoscut de secole filosofilor persani și chinezi, când studia expansiunea algebrică a expresiei (x + y)n. Când extindeți această expresie la a n-a putere, coeficienții termenilor din expansiune corespund numerelor din al n-lea rând al triunghiului. De exemplu, (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 și așa mai departe. Din acest motiv, matematicienii numesc uneori aranjamentul triunghiul coeficienților binomiali. Pentru un număr mare de n, este evident mai ușor să citiți coeficienții de expansiune din triunghi decât să îi calculați.
Să presupunem că arunci o monedă de un anumit număr de ori. Câte combinații de capete și cozi puteți obține? Puteți afla uitându-vă la rândul din triunghiul lui Pascal care corespunde de câte ori aruncați moneda și adăugând toate numerele din acel rând. De exemplu, dacă arunci moneda de 3 ori, există 1 + 3 + 3 + 1 = 8 posibilități. Probabilitatea de a obține același rezultat de trei ori la rând este deci 1/8.
În mod similar, puteți utiliza triunghiul lui Pascal pentru a găsi câte modalități puteți combina obiecte sau opțiuni dintr-un set dat. Să presupunem că aveți 5 bile și doriți să știți câte modalități puteți alege două dintre ele. Mergeți la al cincilea rând și priviți a doua intrare pentru a găsi răspunsul, care este 5.