Într-o succesiune geometrică, fiecare termen este egal cu termenul precedent ori de un multiplicator constant, diferit de zero numit factor comun. Secvențele geometrice pot avea un număr fix de termeni sau pot fi infinite. În ambele cazuri, termenii unei secvențe geometrice pot deveni rapid foarte mari, foarte negativi sau foarte aproape de zero. Comparativ cu secvențele aritmetice, termenii se schimbă mult mai repede, dar în timp ce aritmetica infinită secvențele cresc sau scad constant, secvențele geometrice se pot apropia de zero, în funcție de comun factor.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
O secvență geometrică este o listă ordonată de numere în care fiecare termen este produsul termenului anterior și un multiplicator fix, diferit de zero, numit factor comun. Fiecare termen al unei secvențe geometrice este media geometrică a termenilor care îl precedă și îl urmează. Secvențe geometrice infinite cu un factor comun între +1 și -1 abordează limita zero ca termeni sunt adăugate în timp ce secvențele cu un factor comun mai mare de +1 sau mai mic de −1 merg la plus sau minus infinit.
Cum funcționează secvențele geometrice
O secvență geometrică este definită de numărul său de pornireA, factorul comunrși numărul de termeniS. Forma generală corespunzătoare a unei secvențe geometrice este:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Formula generală pentru termennunei secvențe geometrice (adică orice termen din acea secvență) este:
a_n = ar ^ {n-1}
Formula recursivă, care definește un termen față de termenul anterior, este:
a_n = ra_ {n-1}
Un exemplu de secvență geometrică cu numărul de pornire 3, factorul comun 2 și opt termeni este 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calculând ultimul termen folosind formularul general enumerat mai sus, termenul este:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Folosind formula generală pentru termenul 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Dacă doriți să utilizați formula recursivă pentru termenul 5, atunci termenul 4 = 24 și a5 egal:
a_5 = 2 × 24 = 48
Proprietăți ale secvenței geometrice
Secvențele geometrice au proprietăți speciale în ceea ce privește media geometrică. Media geometrică a două numere este rădăcina pătrată a produsului lor. De exemplu, media geometrică a 5 și 20 este 10 deoarece produsul 5 × 20 = 100 și rădăcina pătrată a lui 100 este 10.
În secvențe geometrice, fiecare termen este media geometrică a termenului dinaintea acestuia și a termenului de după acesta. De exemplu, în secvența 3, 6, 12... mai sus, 6 este media geometrică a 3 și 12, 12 este media geometrică a 6 și 24 și 24 este media geometrică a 12 și 48.
Alte proprietăți ale secvențelor geometrice depind de factorul comun. Dacă factorul comunreste mai mare de 1, secvențele geometrice infinite se vor apropia de infinitul pozitiv. Dacăreste între 0 și 1, secvențele se vor apropia de zero. Dacăreste între zero și -1, secvențele se vor apropia de zero, dar termenii vor alterna între valori pozitive și negative. Dacăreste mai mic decât -1, termenii vor evolua către infinit atât pozitiv cât și negativ pe măsură ce alternează între valori pozitive și negative.
Secvențele geometrice și proprietățile lor sunt utile în special în modelele științifice și matematice ale proceselor din lumea reală. Utilizarea unor secvențe specifice poate ajuta la studiul populațiilor care cresc cu o rată fixă pe perioade de timp date sau investiții care câștigă dobândă. Formulele generale și recursive fac posibilă prezicerea valorilor exacte în viitor pe baza punctului de plecare și a factorului comun.