Produsul a două cantități scalare este un scalar, iar produsul unui scalar cu un vector este un vector, dar ce zici de produsul a doi vectori? Este un scalar sau un alt vector? Răspunsul este că ar putea fi fie!
Există două moduri de a lua un produs vector. Una este luând produsul lor punct, care produce un scalar, iar celălalt este luând produsul lor încrucișat, care dă un alt vector. Produsul utilizat depinde de scenariul particular și de cantitatea pe care încercați să o găsiți.
Produsul încrucișat al doi vectori produce un al treilea vector care indică în direcția perpendiculară pe plan întins de cei doi vectori și a căror magnitudine depinde de perpendicularitatea relativă a celor doi vectori.
Definiția produsului încrucișat al vectorilor
Mai întâi definim produsul încrucișat al vectorilor unitarieu, jșik(vectori de magnitudine 1 care indicăX y-șiz-direcțiile componente ale sistemului de coordonate carteziene standard) după cum urmează:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Rețineți că aceste relații sunt anti-comutative, adică, dacă schimbăm ordinea vectorilor pe care îi luăm produsul, rotește semnul produsului:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Putem folosi definițiile de mai sus pentru a obține formula pentru produsul încrucișat a doi vectori tridimensionali. Mai întâi, scrieți vectoriAșibdupă cum urmează:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Înmulțind cei doi vectori, obținem:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ ori i} + a_zb_y \ bold {k \ ori j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
Apoi, folosind relațiile vectoriale unitare de mai sus, acest lucru se simplifică la:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Rețineți că termenii al căror produs încrucișat a fost 0 sunt termenii care formează produsul punct (denumit și produs scalar)!Nu este o coincidență.)
Cu alte cuvinte:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {unde} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Mărimea produsului încrucișat poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora.
Formula produsului încrucișat poate fi, de asemenea, exprimată ca determinant al următoarei matrice:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrice} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begin {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Where the determinant} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = anunț - bc
O altă formulare, adesea foarte convenabilă, a produsului încrucișat este (a se vedea sfârșitul acestui articol pentru derivare):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
Unde:
- |A| este magnitudinea (lungimea) vectoruluiA
- |b| este magnitudinea (lungimea) vectoruluib
- θ este unghiul dintre Ași b
- neste vectorul unitate perpendicular pe planul întins de Așib
Vectori perpendiculari și regula din dreapta
În descrierea produsului încrucișat, se afirmă că direcția produsului încrucișat este perpendiculară pe planul întins de vectorAși vectorb. Dar acest lucru lasă două posibilități: ar putea indicadinavionul sauînplanul întins de acei vectori. Realitatea este că putem alege, de fapt, atât timp cât suntem consecvenți. Direcția favorizată aleasă atât de matematicieni, cât și de oameni de știință, este însă determinată de ceva numitregula dreapta.
Pentru a determina direcția unui produs încrucișat vectorial folosind regula din dreapta, îndreptați degetul arătător al mâinii drepte în direcția vectoruluiAși degetul mijlociu în direcția vectoruluib. Degetul mare indică apoi în direcția vectorului transversal al produsului.
Uneori aceste direcții sunt dificil de descris pe o bucată de hârtie plată, așa că adesea se fac următoarele convenții:
Pentru a indica un vector care intră în pagină, desenăm un cerc cu un X în el (gândiți-vă la aceasta ca reprezentând penele cozii de la capătul săgeții în timp ce îl priviți din spate). Pentru a indica un vector care merge în direcția opusă în afara paginii, desenăm un cerc cu un punct în el (gândiți-vă la aceasta ca la vârful săgeții care arată din pagină).
•••n / A
Proprietățile produsului încrucișat
Următoarele sunt câteva proprietăți ale produsului încrucișat vectorial:
\ # \ text {1. Dacă} \ bold {a} \ text {și} \ bold {b} \ text {sunt paralele, atunci} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ text {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ text {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ text {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
Interpretarea geometrică a produsului încrucișat
Când produsul încrucișat vectorial este formulat în termeni de păcat (θ), magnitudinea acestuia poate fi interpretată ca reprezentând aria paralelogramului cuprins de cei doi vectori. Asta pentru că pentrua × b, |b| sin (θ) = înălțimea paralelogramului, așa cum se arată, și |A| este baza.
•••Dana Chen | Știința
Mărimea vectorului triplu produsa (b × c) poate fi la rândul său interpretat ca volumul paralelipipedului întins de vectoriA, bșic. Asta pentru ca(b × c) dă un vector a cărui magnitudine este zona întinsă de vectorbși vectorc, și a cărui direcție este perpendiculară pe acea zonă. Luând produsul punct al vectoruluiAcu acest rezultat, înmulțește în mod esențial zona de bază de înălțime.
Exemple
Exemplul 1:Forța asupra unei particule de sarcinăqdeplasându-se cu vitezăvîn câmp magneticBeste dat de:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
Să presupunem că un electron trece printr-un câmp magnetic de 0,005 T la viteza 2 × 107 Domnișoară. Dacă trece perpendicular pe câmp, atunci forța pe care o va simți este:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ times 10 ^ {19}) (2 \ times 10 ^ 7) (0.005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ times 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Cu toate acestea, dacă electronul călătorește paralel cu câmpul, atunci θ = 0 și sin (0) = 0, făcând forța 0.
Rețineți că pentru electronul care trece perpendicular pe câmp, această forță îl va determina să se deplaseze pe o cale circulară. Raza acestei căi circulare poate fi găsită setând forța magnetică egală cu forța centripetă și rezolvând razar:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implică r = \ frac {mv} {qB}
Pentru exemplul de mai sus, conectarea numerelor produce o rază de aproximativ 0,0227 m.
Exemplul 2:Cuplul mărimii fizice este, de asemenea, calculat folosind un produs transversal vector. Dacă o forțăFse aplică unui obiect aflat în pozițierdin punctul de pivot, cuplulτdespre punctul pivot este dat de:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
Luați în considerare situația în care o forță de 7 N este aplicată la un unghi față de capătul unei tije de 0,75 al cărui celălalt capăt este atașat la un pivot. Unghiul dintrerșiFeste de 70 de grade, deci cuplul poate fi calculat:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { n}
Direcția cuplului,n, se găsește prin regula din dreapta. Dacă se aplică imaginii de mai sus, aceasta oferă o direcție care iese din pagină sau ecran. În general, un cuplu aplicat unui obiect va dori să facă obiectul să se rotească. Vectorul cuplului va fi întotdeauna în aceeași direcție ca axa de rotație.
De fapt, o regulă simplificată pentru mâna dreaptă poate fi utilizată în această situație: Folosiți mâna dreaptă pentru a „apuca” axa de rotație în în așa fel încât degetele să se învârtească în direcția cuplului asociat va dori să provoace rotirea obiectului. Degetul mare îndreaptă apoi în direcția vectorului cuplului.
Derivarea formulei de produse încrucișate
\ text {Aici vom arăta modul în care formula produselor încrucișate} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {poate fi derivat.}
Luați în considerare doi vectoriAșibcu unghiθîntre ele. Un triunghi dreptunghiular se poate forma trasând o linie din vârful vectoruluiAla un punct de contact perpendicular pe vectorb.
Folosind teorema lui Pitagora, obținem următoarea relație:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {este proiecția vectorului} \ bold {a} \ text {pe vector} \ bold {b}.
Simplificând puțin expresia, obținem următoarele:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Apoi, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu |b|2 și mutați primul termen în partea dreaptă pentru a obține:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Lucrând cu partea dreaptă, înmulțiți totul și apoi simplificați:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_z_z_z_a (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
Setând rezultatul egal cu partea stângă a ecuației anterioare, obținem următoarea relație:
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
Acest lucru ne arată că mărimile sunt aceleași în formulă, deci ultimul lucru de făcut pentru a demonstra formula este să arătăm că și direcțiile sunt aceleași. Acest lucru se poate face pur și simplu luând produsele dot aleAcua × bșibcua × bși arătând că sunt 0, ceea ce înseamnă că direcțiaa × b este perpendicular pe ambele.