Ecuația Schrodinger este cea mai fundamentală ecuație din mecanica cuantică, iar învățarea modului de utilizare și a ceea ce înseamnă este esențială pentru orice fizician în devenire. Ecuația poartă numele lui Erwin Schrödinger, care a câștigat premiul Nobel împreună cu Paul Dirac în 1933 pentru contribuțiile lor la fizica cuantică.
Ecuația lui Schrodinger descrie funcția de undă a unui sistem mecanic cuantic, care dă informații probabilistice despre localizarea unei particule și alte mărimi observabile, cum ar fi impuls. Cel mai important lucru pe care îl veți realiza despre mecanica cuantică după ce veți afla despre ecuație este că legile din domeniul cuantic suntfoarte diferitdin cele ale mecanicii clasice.
Funcția Wave
Funcția de undă este unul dintre cele mai importante concepte din mecanica cuantică, deoarece fiecare particulă este reprezentată de o funcție de undă. De obicei, i se dă litera greacă psi (Ψ), și depinde de poziție și timp. Când aveți o expresie pentru funcția de undă a unei particule, aceasta vă spune tot ce se poate ști sistemul fizic și diferite valori pentru mărimile observabile pot fi obținute prin aplicarea unui operator la aceasta.
Pătratul modulului funcției de undă vă spune probabilitatea de a găsi particula într-o pozițieXla un moment datt. Acesta este cazul numai dacă funcția este „normalizată”, ceea ce înseamnă că suma modulului pătrat pe toate locațiile posibile trebuie să fie egală cu 1, adică particula esteanumita fi localizatundeva.
Rețineți că funcția de undă oferă doar informații probabiliste și, prin urmare, nu puteți prevedea rezultatul unei observațiipoate sadetermina media pe mai multe masuratori.
Puteți utiliza funcția de undă pentru a calcula„Valoare de așteptare”pentru poziția particulei la timpt, valoarea de așteptare fiind valoarea medie aXați obține dacă ați repeta măsurarea de mai multe ori.
Din nou, acest lucru nu vă spune nimic despre o anumită măsurare. De fapt, funcția de undă este mai mult o distribuție de probabilitate pentru o singură particulă decât orice lucru concret și fiabil. Utilizând operatorul adecvat, puteți obține, de asemenea, valori de așteptare pentru impuls, energie și alte cantități observabile.
Ecuația Schrodinger
Ecuația Schrodinger este ecuația diferențială parțială liniară care descrie evoluția a stare cuantică într-un mod similar legilor lui Newton (a doua lege în special) în clasic mecanica.
Cu toate acestea, ecuația Schrodinger este o ecuație de undă pentru funcția de undă a particulei în cauză, deci utilizarea ecuației pentru a prezice starea viitoare unui sistem se numește uneori „mecanica undelor”. Ecuația în sine derivă din conservarea energiei și este construită în jurul unui operator numit Hamiltonian.
Cea mai simplă formă a ecuației Schrodinger de notat este:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Unde ℏ este constanta redusă a lui Planck (adică constanta împărțită la 2π) șiHeste operatorul hamiltonian, care corespunde la suma energiei potențiale și a energiei cinetice (energia totală) a sistemului cuantic. Hamiltonianul este o expresie destul de lungă, însă ecuația completă poate fi scrisă astfel:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Observând că uneori (pentru probleme în mod explicit tridimensionale), prima derivată parțială este scrisă ca operator laplacian ∇2. În esență, hamiltonianul acționează asupra funcției de undă pentru a descrie evoluția sa în spațiu și timp. Dar în versiunea independentă de timp a ecuației (adică atunci când sistemul nu depinde det), hamiltonienul dă energia sistemului.
Rezolvarea ecuației Schrodinger înseamnă găsireafuncția de undă mecanică cuanticăcare o satisface pentru o anumită situație.
Ecuația Schrodinger dependentă de timp
Ecuația Schrodinger dependentă de timp este versiunea din secțiunea anterioară și descrie evoluția funcției de undă pentru o particulă în timp și spațiu. Un caz simplu de luat în considerare este o particulă liberă, deoarece energia potențialăV= 0, iar soluția ia forma unei unde plane. Aceste soluții au forma:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Undek = 2π / λ, λeste lungimea de undă șiω = E / ℏ.
Pentru alte situații, partea de energie potențială a ecuației originale descrie condițiile limită pentru parte spațială a funcției de undă și este adesea separată într-o funcție de evoluție în timp și independentă de timp ecuaţie.
Ecuația Schrodinger independentă de timp
Pentru situații statice sau soluții care formează unde staționare (cum ar fi fântâna potențială, soluții stil „particule într-o cutie”), puteți separa funcția de undă în timp și părți spațiale:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Când parcurgeți integral acest lucru, porțiunea de timp poate fi anulată, lăsând o formă a ecuației Schrodinger carenumaidepinde de poziția particulei. Funcția de undă independentă de timp este apoi dată de:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
AiciEeste energia sistemului mecanic cuantic șiHeste operatorul hamiltonian. Această formă a ecuației ia forma exactă a unei ecuații de valori proprii, cu funcția de undă fiind funcția proprie, iar energia fiind valoarea proprie atunci când se aplică operatorul hamiltonian la ea. Extindând hamiltonienul într-o formă mai explicită, acesta poate fi scris integral ca:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Partea de timp a ecuației este conținută în funcția:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Soluții la ecuația Schrodinger independentă de timp
Ecuația Schrodinger independentă de timp se pretează bine soluțiilor destul de simple, deoarece reduce forma completă a ecuației. Un exemplu perfect în acest sens este grupul de soluții „particula într-o cutie” în care se presupune că particula se află într-un puț pătrat infinit într-o singură dimensiune, deci există un potențial zero (adicăV= 0) pe tot parcursul și nu există nicio șansă ca particula să fie găsită în afara fântânii.
Există, de asemenea, o fântână pătrată finită, în care potențialul la „pereții” fântânii nu este infinit și chiar dacă este mai mare decât energia particulelor, existănisteposibilitatea de a găsi particula în afara acesteia datorită tunelării cuantice. Pentru potențialul infinit, soluțiile iau forma:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
UndeLeste lungimea puțului.
Un potențial de funcție delta este un concept foarte similar cu putul potențial, cu excepția lățimiiLmergând la zero (adică fiind infinitesimal în jurul unui singur punct) și adâncimea fântânii mergând la infinit, în timp ce produsul celor două (U0) ramane constant. În această situație foarte idealizată, există o singură stare legată, dată de:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Cu energie:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Soluție de atom de hidrogen la ecuația Schrodinger
În cele din urmă, soluția de atom de hidrogen are aplicații evidente fizicii lumii reale, dar în practică situația pentru că un electron din jurul nucleului unui atom de hidrogen poate fi văzut ca destul de similar cu putul potențial Probleme. Cu toate acestea, situația este tridimensională și este descrisă cel mai bine în coordonate sfericer, θ, ϕ. Soluția în acest caz este dată de:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
UndePsunt polinoamele Legendre,Rsunt soluții radiale specifice șiNeste o constantă pe care o reparați folosind faptul că funcția de undă ar trebui normalizată. Ecuația produce niveluri de energie date de:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
UndeZaici este numărul atomic (deciZ= 1 pentru un atom de hidrogen),eîn acest caz este sarcina unui electron (mai degrabă decât constantae = 2.7182818...), ϵ0 este permisivitatea spațiului liber șiμeste masa redusă, care se bazează pe masele protonului și electronului dintr-un atom de hidrogen. Această expresie este bună pentru orice atom de tip hidrogen, adică orice situație (inclusiv ioni) în care există un electron care orbitează un nucleu central.