Fie că este vorba de o patinatoare care își trage brațele și se învârte mai repede ca ea sau de o pisică care controlează cât de repede se învârte în timpul unei căderi pentru a se asigura că aterizează pe picioarele sale, conceptul unui moment de inerție este crucial pentru fizica rotației mişcare.
Altfel cunoscut sub numele de inerție de rotație, momentul de inerție este analogul de rotație al masei în a doua dintre legile mișcării lui Newton, descriind tendința unui obiect de a rezista la accelerația unghiulară.
Conceptul s-ar putea să nu pară prea interesant la început, dar în combinație cu legea conservării unghiularului impuls, poate fi folosit pentru a descrie multe fenomene fizice fascinante și pentru a prezice mișcarea într-o gamă largă de situații.
Definiția Moment of Inertia
Momentul de inerție pentru un obiect descrie rezistența sa la accelerația unghiulară, luând în considerare distribuția masei în jurul axei sale de rotație.
În esență, cuantifică cât de dificilă este schimbarea vitezei de rotație a unui obiect, indiferent dacă aceasta înseamnă pornirea rotației sale, oprirea acestuia sau schimbarea vitezei unui obiect deja în rotație.
Uneori se numește inerție de rotație și este util să ne gândim la aceasta ca la un analog de masă în a doua lege a lui Newton:Fnet = ma. Aici, masa unui obiect este numită adesea masa inerțială și descrie rezistența obiectului la mișcare (liniară). Inerția de rotație funcționează la fel pentru mișcarea de rotație, iar definiția matematică include întotdeauna masa.
Expresia echivalentă cu a doua lege pentru mișcarea de rotație se referăcuplu (τ, analogul de rotație al forței) la accelerația unghiularăαși momentul de inerțieEu:
\ tau = I \ alpha
Același obiect poate avea mai multe momente de inerție, totuși, pentru că, deși o mare parte a definiției se referă la distribuția masei, acesta explică și locația axei de rotație.
De exemplu, în timp ce momentul de inerție pentru o tijă care se rotește în jurul centrului său esteEu = ML2/ 12 (undeMeste masa șiLeste lungimea tijei), aceeași tijă care se rotește în jurul unui capăt are un moment de inerție dat deEu = ML2/3.
Ecuații pentru Momentul de inerție
Deci, momentul de inerție al unui corp depinde de masa acestuiaM, raza saRși axa de rotație a acestuia.
In unele cazuri,Reste denumitd, pentru distanța față de axa de rotație, iar în altele (ca și în cazul tijei din secțiunea anterioară) se înlocuiește cu lungimea,L. SimbolulEueste folosit pentru moment de inerție și are unități de kg m2.
Așa cum v-ați putea aștepta pe baza a ceea ce ați învățat până acum, există multe ecuații diferite pentru momentul de inerție și fiecare se referă la o formă specifică și la o axă de rotație specifică. În toate momentele de inerție, termenulDOMNUL2 apare, deși pentru diferite forme există fracții diferite în fața acestui termen și, în unele cazuri, pot exista termeni multipli însumați.
DOMNUL2 componenta este momentul de inerție pentru o masă punctuală la distanțăRde pe axa de rotație, iar ecuația pentru un anumit corp rigid este construită ca o sumă de mase punctuale sau prin integrarea unui număr infinit de mase punctuale mici peste obiect.
În timp ce, în unele cazuri, poate fi util să derivăm momentul de inerție al unui obiect pe baza unei simple sume aritmetice a maselor punctuale sau prin integrarea, în practică, există multe rezultate pentru forme comune și axe de rotație pe care le puteți folosi pur și simplu fără a fi nevoie să le derivați primul:
Cilindru solid (ax de simetrie):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Cilindru solid (axa cu diametrul central sau diametrul secțiunii transversale circulare din mijlocul cilindrului):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Sferă solidă (axă centrală):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Coajă sferică subțire (axă centrală):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Hoop (axă de simetrie, adică perpendicular pe centru):
I = MR ^ 2
Hoop (axa cu diametrul, adică peste diametrul cercului format de cerc):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Tija (axa centrală, perpendiculară pe lungimea tijei):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Tija (rotind în jurul capătului):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Inerția de rotație și axa de rotație
Înțelegerea de ce există ecuații diferite pentru fiecare axă de rotație este un pas cheie pentru a înțelege conceptul de moment de inerție.
Gândiți-vă la un creion: îl puteți roti rotindu-l în mijloc, până la capăt sau răsucindu-l în jurul axei sale centrale. Deoarece inerția de rotație a unui obiect depinde de distribuția masei în jurul axei de rotație, fiecare dintre aceste situații este diferită și necesită o ecuație separată pentru a o descrie.
Puteți obține o înțelegere instinctivă a conceptului de moment de inerție dacă scalați același argument până la un stâlp de 30 de picioare.
Învârtirea lui peste cap ar fi foarte dificilă - dacă ai putea să o gestionezi deloc - în timp ce rotirea stâlpului în jurul axei sale centrale ar fi mult mai ușoară. Acest lucru se datorează faptului că cuplul depinde puternic de distanța față de axa de rotație și de cea de 30 de picioare exemplu stâlp de steag, învârtirea capătului peste capăt implică fiecare capăt extrem la 15 picioare distanță de axa lui rotație.
Cu toate acestea, dacă îl răsuciți în jurul axei centrale, totul este destul de aproape de axă. Situația seamănă mult cu purtarea unui obiect greu la distanță de braț vs. ținându-l aproape de corpul dvs. sau acționând o pârghie de la capăt vs. aproape de punctul de sprijin.
Acesta este motivul pentru care aveți nevoie de o ecuație diferită pentru a descrie momentul de inerție pentru același obiect, în funcție de axa de rotație. Axa pe care o alegeți afectează cât de departe sunt părțile corpului de axa de rotație, chiar dacă masa corpului rămâne aceeași.
Utilizarea ecuațiilor pentru momentul de inerție
Cheia pentru calcularea momentului de inerție pentru un corp rigid este învățarea utilizării și aplicării ecuațiilor corespunzătoare.
Luați în considerare creionul din secțiunea anterioară, fiind rotit cap la cap în jurul unui punct central de-a lungul lungimii sale. Deși nu esteperfecttija (vârful ascuțit rupe această formă, de exemplu) poate fi modelat ca atare pentru a vă ajuta să treceți printr-un moment complet de derivare a inerției pentru obiect.
Deci, modelând obiectul ca o tijă, ați folosi următoarea ecuație pentru a găsi momentul de inerție, combinat cu masa totală și lungimea creionului:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
O provocare mai mare este găsirea momentului de inerție pentru obiectele compozite.
De exemplu, luați în considerare două bile legate între ele printr-o tijă (pe care le vom trata ca fiind fără masă pentru a simplifica problema). Mingea 1 este de 2 kg și poziționată la 2 m distanță de axa de rotație, iar minge a doua are 5 kg în masă și la 3 m distanță de axa de rotație.
În acest caz, puteți găsi momentul de inerție pentru acest obiect compozit, considerând că fiecare bilă este o masă punctuală și lucrând din definiția de bază că:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2... \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {align}
Cu indicii simplificând diferențierea între diferite obiecte (de exemplu, bila 1 și bila 2). Obiectul cu două mingi ar avea atunci:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {align}
Momentul de inerție și conservarea impulsului unghiular
Momentul unghiular (analogul de rotație pentru impulsul liniar) este definit ca produsul inerției de rotație (adică momentul de inerție,Eu) a obiectului și a vitezei sale unghiulareω), care se măsoară în grade / s sau rad / s.
Veți fi, fără îndoială, familiarizați cu legea conservării impulsului liniar, iar impulsul unghiular este, de asemenea, conservat în același mod. Ecuația momentului unghiularL) este:
L = Iω
Gândirea la ceea ce înseamnă acest lucru în practică explică multe fenomene fizice, deoarece (în absența altor forțe), cu cât este mai mare inerția de rotație a unui obiect, cu atât este mai mică viteza sa unghiulară.
Luați în considerare un patinator care se rotește la o viteză unghiulară constantă cu brațele întinse și observați că brațele sale întinse cresc razaRdespre care este distribuită masa lui, ducând la un moment mai mare de inerție decât dacă brațele i-ar fi fost aproape de corp.
DacăL1 se calculează cu brațele întinse șiL2, după ce și-a atras brațele trebuie să aibă aceeași valoare (deoarece se păstrează impulsul unghiular), ce se întâmplă dacă își scade momentul de inerție trăgând în brațe? Viteza sa unghiularăωcrește pentru a compensa.
Pisicile efectuează mișcări similare pentru a le ajuta să aterizeze pe picioare atunci când cad.
Prin întinderea picioarelor și a cozii, își cresc momentul de inerție și reduc viteza de rotație, și dimpotrivă își pot atrage picioarele pentru a-și reduce momentul de inerție și pentru a-și crește viteza de rotație. Ei folosesc aceste două strategii - împreună cu alte aspecte ale „reflexului de îndreptare” - pentru a-și asigura picioarele mai întâi, și puteți vedea faze distincte de curbare și întindere în fotografiile time-lapse ale unei pisici aterizare.
Moment de inerție și energie cinetică de rotație
Continuând paralelele dintre mișcarea liniară și mișcarea de rotație, obiectele au, de asemenea, energie cinetică de rotație în același mod în care au energie cinetică liniară.
Gândiți-vă la o bilă care se rostogolește prin sol, ambele rotindu-se în jurul axei sale centrale și deplasându-se înainte în mod liniar: energia cinetică totală a mingii este suma energiei sale cinetice liniare.Ek și energia cinetică de rotațieEputrezi. Paralelele dintre aceste două energii se reflectă în ecuațiile pentru amândouă, amintind că este un obiect momentul de inerție este analogul de rotație al masei și viteza sa unghiulară este analogul de rotație al liniarului vitezăv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Puteți vedea clar că ambele ecuații au exact aceeași formă, cu analogii de rotație corespunzători înlocuiți cu ecuația de energie cinetică de rotație.
Desigur, pentru a calcula energia cinetică de rotație, va trebui să înlocuiți expresia potrivită pentru momentul de inerție pentru obiect în spațiul pentruEu. Având în vedere bila și modelând obiectul ca o sferă solidă, ecuația este acest caz:
\ begin {align} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {align}
Energia cinetică totală (Etot) este suma acestei și a energiei cinetice a mingii, astfel încât să puteți scrie:
\ begin {align} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { aliniat}
Pentru o minge de 1 kg care se mișcă la o viteză liniară de 2 m / s, cu o rază de 0,3 m și cu o viteză unghiulară de 2π rad / s, energia totală ar fi:
\ begin {align} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0.3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0,71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ text {J} \ end {align}
În funcție de situație, un obiect ar putea avea doar energie cinetică liniară (de exemplu, o bilă căzută din o înălțime fără rotire impusă asupra acestuia) sau doar energie cinetică de rotație (o minge care se învârte, dar rămâne pe loc).
Amintiți-vă că estetotalenergie care este conservată. Dacă o minge este lovită într-un perete fără nici o rotație inițială și se întoarce cu o viteză mai mică, dar cu o rotire impusă, precum și energia pierdut în sunet și căldură atunci când a intrat în contact, o parte din energia cinetică inițială a fost transferată la energia cinetică de rotație și astfelnu potmutați-vă la fel de repede ca înainte de a reveni.