Avectoreste o cantitate care are atât magnitudinea, cât și direcția asociate. Acest lucru este diferit de unscalarcantitate, care corespunde doar unei mărimi. Viteza este un exemplu de mărime vectorială. Are atât o magnitudine (cât de repede merge ceva), cât și o direcție (direcția pe care o parcurge.)
Vectorii sunt deseori desenați ca săgeți. Lungimea săgeții corespunde cu magnitudinea vectorului, iar punctul săgeții indică direcția.
Există două moduri de a lucra cu adunarea și scăderea vectorilor. Primul este grafic, prin manipularea diagramelor cu săgeți ale vectorilor înșiși. Al doilea este matematic, ceea ce oferă rezultate exacte.
Adunare și scădere vectorială grafică într-o singură dimensiune
Când adăugați doi vectori, plasați coada celui de-al doilea vector în vârful primului vector, păstrând în același timp orientarea vectorială.vector rezultateste un vector care începe de la coada primului vector și indică o linie dreaptă până la vârful celui de-al doilea vector.
De exemplu, luați în considerare adăugarea de vectori
Scăderea vectorilor într-o dimensiune este în esență aceeași cu adăugarea, cu excepția faptului că „răsturnați” al doilea vector. Acest lucru rezultă direct din faptul că scăderea este aceeași cu adăugarea unui negativ.
Adunarea și scăderea matematică de vectori într-o singură dimensiune
Când lucrați într-o singură dimensiune, direcția unui vector poate fi indicată prin semn. Alegem o direcție pentru a fi direcția pozitivă (de obicei „sus” sau „dreapta” sunt alese ca pozitive) și atribuim orice vector care indică în acea direcție ca o cantitate pozitivă. Orice vector care arată în direcția negativă este o cantitate negativă. Când adăugați sau scădeți vectori, adăugați sau scădeți mărimile lor cu semnele corespunzătoare atașate.
Să presupunem că în secțiunea anterioară, vectorAavea o magnitudine de 3 și vectorBa avut o magnitudine de 5. Apoi vectorul rezultantC = A + B =8, un vector de magnitudine 8 îndreptat în direcția pozitivă și vectorul rezultatD = A - B =-2, un vector de magnitudine 2 îndreptat în direcția negativă. Rețineți că acest lucru este în concordanță cu rezultatele grafice dinainte.
Sfat: Aveți grijă să adăugați numai vectori de același tip: viteză + viteză, forță + forță și așa mai departe. La fel ca în toate matematica din fizică, unitățile trebuie să se potrivească!
Adunare și scădere vectorială grafică în două dimensiuni
Dacă primul vector și al doilea vector nu sunt de-a lungul aceleiași linii în spațiul cartezian, puteți utiliza aceeași metodă „vârf la coadă” pentru a le adăuga sau a le scădea. Pentru a adăuga doi vectori, imaginați-vă pur și simplu ridicându-l pe cel de-al doilea și așezându-i coada la vârful primului, menținându-și orientarea așa cum se arată. Vectorul rezultat este o săgeată care începe la coada primului vector și se termină la vârful celui de-al doilea vector:
La fel ca într-o dimensiune, scăderea unui vector din altul este echivalentă cu răsucirea și adăugarea. Din punct de vedere grafic, acesta arată după cum urmează:
•••Dana Chen | Știința
Notă: Uneori adăugarea vectorială este prezentată grafic prin punerea cozilor celor doi vectori addend împreună și crearea unui paralelogram. Vectorul rezultat este apoi diagonala acestui paralelogram.
Adunarea și scăderea matematică a vectorilor în două dimensiuni
Pentru a adăuga și scădea matematic vectorii în două dimensiuni, urmați acești pași:
Descompuneți fiecare vector într-unX-componentă, numită uneori componenta orizontală și ay-componentă, uneori numită componentă verticală, folosind trigonometrie. (Rețineți că componentele pot fi fie negative, fie pozitive, în funcție de ce direcție indică vectorul)
AdaugăX-componenții ambilor vectori împreună, apoi adăugațiy-componenții ambilor vectori împreună. Acest rezultat vă oferăXșiycomponentele vectorului rezultat.
Mărimea vectorului rezultat poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora.
Direcția vectorului rezultat poate fi găsită prin trigonometrie utilizând funcția tangentă inversă. Această direcție este de obicei dată ca un unghi față de pozitivX-axă.
Trigonometrie în adaos vectorial
Reamintim relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghiular din trigonometrie.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Teorema lui Pitagora:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Mișcarea proiectilului oferă exemple clasice despre modul în care am putea folosi aceste relații atât pentru a descompune un vector, cât și pentru a determina magnitudinea și direcția finală a unui vector.
Luați în considerare două persoane care se joacă la captură. Să presupunem că vi se spune că mingea este aruncată de la o înălțime de 1,3 m cu o viteză de 16 m / s la un unghi de 50 de grade cu orizontală. Pentru a începe analiza acestei probleme, va trebui să descompuneți acest vector de viteză inițială înXșiycomponente așa cum se arată:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ times \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12,3 \ text {m / s}
Dacă captorul ratează mingea și lovește pământul, cu ce viteză finală va atinge?
Folosind ecuații cinematice, putem determina că componentele finale ale vitezei mingii sunt:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Teorema lui Pitagora ne permite să găsim magnitudinea:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
Și trigonometria ne permite să determinăm unghiul:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ grade
Exemplu de adunare și scădere de vectori
Luați în considerare o mașină care face un colț. Presupuneveupentru că mașina este înX-direcție cu magnitudine 10 m / s șivfeste la un unghi de 45 de grade cu pozitivulX-axa cu magnitudine 10 m / s. Dacă această schimbare de mișcare are loc în 3 secunde, care este amploarea și direcția accelerației mașinii pe măsură ce se întoarce?
Amintiți-vă că accelerațiaAeste o cantitate vectorială definită ca:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Undevfșiveusunt viteze finale și respectiv inițiale (și, prin urmare, sunt și mărimi vectoriale).
Pentru a calcula diferența vectorialăvf - veu,trebuie mai întâi să descompunem vectorii vitezei inițiale și finale:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
Apoi scădem finalulXșiycomponente din inițialăXșiycomponente pentru a obține componente alevf - veu:
Apoi scădemXșiycomponente:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ text {m / s}
Apoi împărțiți fiecare la timp pentru a obține componentele vectorului de accelerație:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Utilizați teorema lui Pitagora pentru a găsi magnitudinea vectorului de accelerație:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ text {m / s} ^ 2
În cele din urmă, utilizați trigonometria pentru a găsi direcția vectorului de accelerație:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ grade
