Compararea momentelor de inerție pentru obiecte comune (cu diagrame)

Fizicienii compară momentele de inerție pentru rotirea obiectelor pentru a determina care dintre acestea vor fi mai greu de accelerat sau încetinit. Acest lucru se aplică situațiilor din lumea reală, cum ar fi aflarea obiectelor care vor rula cel mai repede într-o cursă.

Factorii care schimbă momentul de inerție al unui obiect sunt masa acestuia, modul în care este distribuită masa respectivă - determinată de forma și raza sa - și axa de rotație pe care se învârte.

Această diagramă prezintă ecuațiile momentului de inerție pentru mai multe forme comune care se rotesc în jurul diferitelor axe de rotație.

Iată câteva exemple de probleme fizice care necesită utilizarea unor momente de inerție pentru a compara diferite obiecte.

1. Care dintre următoarele va fi cel mai ușor de început să se rotească: o sferă goală de 7 kg de rază 0,2 m sau o sferă solidă de 10 kg de aceeași rază?

Începeți prin a găsi momentele de inerție pentru fiecare obiect. Conform tabelului, ecuația pentru a

Înlocuind masele și razele date:

​Sferă goală​: ​I = 2/3 (7 kg) (0,2 m)² =​ ​0.19​ ​kgm²​

​Solid​ ​sferă​: ​I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)² =​ ​0.16​ ​kgm²​ ​
​

Momentul de inerție estemai mică pentru sfera solidă, asa va ficel mai ușor de început să se rotească​.

2. În ce mod este cel mai greu să rotiți un creion: cam la lungimea acestuia, în jurul centrului sau capăt peste cap? Să presupunem că creionul are o lungime de 10 cm (0,1 m) și o rază a secțiunii transversale de 3 mm (0,003 m).

În acest caz, masa creionului nu contează în comparație, deoarece nu se schimbă.

Pentru a determina ce ecuații se aplică, aproximați forma unui creion ca un cilindru.

Apoi, cele trei ecuații de moment de inerție necesare sunt:

​Cilindru despre lungimea sa(axa trece prin întregul lucru, de la vârf la radieră, deci raza la axa de rotațieesteraza sa transversală):

​Cilindru în jurul centrului său(ținut la mijloc, deci raza de rotație a acestuia estejumătate din lungimea sa​):

​Cilindru în jurul capătului său(ținut de vârf sau de radieră, deci raza până la axa de rotațieestelungimea acestuia):

​Cu cât este mai mare momentul de inerție al unui obiect, cu atât este mai greu să începi (sau să oprești) rotația acestuia.Deoarece fiecare valoare este înmulțită cu aceeașim, cu atât este mai mare valoarea fracției înmulțită cu r², cu cât va fi mai mare momentul de inerție. În acest caz 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, așa estemai greu de rotit un creion în jurul capătului săudecât în ​​jurul celorlalte două axe.

3. Care obiect va ajunge mai întâi în partea de jos a unei rampe dacă toate au aceeași masă și rază și sunt eliberate toate din vârf în același timp: un cerc, un cilindru sau o sferă solidă? Ignorați fricțiunea.

Cheia pentru a răspunde la această problemă este aplicarea unei înțelegeri aconservarea Energiei. Dacă toate obiectele au aceeași masă și încep la aceeași înălțime, trebuie să înceapă cu aceeași cantitate deenergia potențială gravitațională. Acesta esteenergie totalăau la dispoziție conversia în energie cinetică și deplasarea în jos pe rampă.

Deoarece obiectele se vor rostogoli pe rampă, trebuie să-și convertească energia potențială inițială în ambeleenergiile cinetice de rotație și liniare​.

Iată captura: cu cât mai multă energie din acea plăcintă totală ia obiectulîncepe să se învârtă, cu atât va avea mai puțin disponibil pentrumișcare liniară. Asta inseamnacu cât este mai ușor să faci rostogolirea unui obiect, cu atât mai repede se va deplasa liniar pe rampă, câștigând cursa​.

Apoi, deoarece toate masele și razele sunt aceleași, compararea simplă a fracțiilor din fața fiecărui moment de ecuație de inerție dezvăluie răspunsul:

​Sferă solidă:​ ​Eu =2/5Domnul²​

​Cerc în jurul unei axe:​ ​I = mr²​

​Cilindru solid cu lungimea sa:​ ​Eu =1/2Domnul²​

De la cel mai mic la cel mai mare moment de inerție, și astfelprimul care durează să ajungă jos: sferă, cilindru, cerc.