Cinematica este o ramură matematică a fizicii care folosește ecuații pentru a descrie mișcarea obiectelor (în special a lortraiectorii) fără a se referi la forțe.
Adică, puteți conecta pur și simplu diverse numere la setul de patru ecuații cinematice pentru a găsi orice necunoscute acele ecuații fără a avea nevoie de cunoștințe despre fizica din spatele acelei mișcări, bazându-se doar pe algebra voastră aptitudini.
Gândiți-vă la „cinematică” ca la o combinație de „cinetică” și „matematică” - cu alte cuvinte, matematica mișcării.
Cinematica de rotație este exact aceasta, dar se ocupă în mod specific de obiecte care se mișcă pe căi circulare mai degrabă decât orizontală sau verticală. La fel ca obiectele din lumea mișcării de translație, aceste obiecte rotative pot fi descrise în termeni de deplasare, viteză și accelerarea în timp, deși unele variabile se schimbă în mod necesar pentru a se potrivi diferențelor de bază dintre liniar și unghiular mişcare.
De fapt, este foarte util să învățați noțiunile de bază despre mișcarea liniară și mișcarea de rotație în același timp sau cel puțin să fiți introdus în variabilele și ecuațiile relevante. Acest lucru nu este pentru a vă copleși, ci în schimb este menit să sublinieze paralelele.
Desigur, este important să ne amintim când aflăm despre aceste „tipuri” de mișcare în spațiu că translarea și rotația sunt departe de a se exclude reciproc. De fapt, majoritatea obiectelor în mișcare din lumea reală afișează o combinație a ambelor tipuri de mișcare, unul dintre ele adesea nefiind evident la prima vedere.
Exemple de mișcare liniară și proiectilă
Deoarece „viteză” înseamnă de obicei „viteză liniară” și „accelerație” implică „accelerație liniară”, cu excepția cazului în care se specifică altfel, este oportun să se revizuiască câteva exemple simple de mișcare de bază.
Mișcarea liniară înseamnă literalmente mișcare limitată la o singură linie, deseori atribuită variabilei „x”. Problemele de mișcare a proiectilului implică atât x, cât și dimensiunile y, iar gravitația este singura forță externă (rețineți că aceste probleme sunt descrise ca apărând într-o lume tridimensională, de exemplu, „O ghiulea este concediat... ”).
Rețineți că masamnu introduce ecuații cinematice de niciun fel, deoarece efectul gravitației asupra mișcării obiectelor este independent de masa lor și cantități precum impulsul, inerția și energia nu fac parte din ecuații ale mişcare.
O notă rapidă despre radieni și grade
Deoarece mișcarea de rotație implică studierea traseelor circulare (atât în circulație neuniformă cât și uniformă mișcare), mai degrabă decât să folosiți contoare pentru a descrie deplasarea unui obiect, utilizați radiani sau grade in schimb.
Radianul este, la suprafață, o unitate incomodă, care se traduce la 57,3 grade. Dar o călătorie în jurul unui cerc (360 de grade) este definită ca 2π radiani și, din motive pe care urmează să le vedeți, acest lucru se dovedește convenabil atunci când rezolvarea problemelor în unele cazuri.
- Relațiaπ rad = 180 gradepoate fi folosit pentru a converti cu ușurință între ambele unități de măsură.
Pot exista probleme care includ numărul de rotații pe unitate de timp (rpm sau rps). Amintiți-vă că fiecare revoluție este de 2π radiani sau 360 de grade.
Cinematică rotațională vs. Măsurători cinematice translaționale
Măsurătorile cinematice translaționale sau unitățile au toate analogi de rotație. De exemplu, în loc de viteza liniară, care descrie, de exemplu, cât de mult se rostogolește o minge într-o linie dreaptă într-un anumit interval de timp,rotaționalsauviteză unghiularădescrie rata de rotație a acelei bile (cât de mult se rotește în radiani sau grade pe secundă).
Principalul lucru de reținut aici este că fiecare unitate de translație are un analog de rotație. Învățarea de a le relaționa matematic și conceptual cu cele „partenere” necesită puțină practică, dar în cea mai mare parte este o chestiune de substituție simplă.
Viteza liniarăvspecifică atât amploarea, cât și direcția traducerii unei particule; viteză unghiularăω(litera greacă omega) reprezintă viteza sa singulară, care este cât de repede se rotește obiectul în radiani pe secundă. În mod similar, rata de schimbare aω, accelerația unghiulară, este dată deα(alfa) în rad / s2.
Valorileωșiαsunt aceleași pentru orice punct de pe un obiect solid, indiferent dacă sunt măsurate la 0,1 m de axa de rotație sau la 1.000 de metri distanță, deoarece este doar cât de rapid este unghiulθschimbări care contează.
Există, totuși, viteze tangențiale (și deci liniare) și accelerații prezente în majoritatea situațiilor în care se văd cantități de rotație. Mărimile tangențiale sunt calculate prin înmulțirea mărimilor unghiulare cur, distanța de la axa de rotație:vt = ωrșiαt = αr.
Cinematică rotațională vs. Ecuații cinematice translaționale
Acum că analogiile de măsurare dintre mișcarea de rotație și cea liniară au fost pătrate folosind introducerea de noi termeni unghiulari, aceștia pot fi folosiți pentru rescrierea patru ecuații cinematice tradiționale tradiționale în termeni de cinematică rotațională, doar cu variabile oarecum diferite (literele din ecuații reprezentând necunoscute cantități).
Există patru ecuații fundamentale, precum și patru variabile de bază în joc în cinematică: poziția (X, ysauθ), viteză (vsauω), accelerare (Asauα) si timpult. Ce ecuație alegeți depinde de cantitățile necunoscute pentru a începe.
- [introduceți un tabel de ecuații cinematice liniare / translaționale aliniate cu analogii lor de rotație]
De exemplu, spuneți că vi se spune că un braț al mașinii a trecut printr-o deplasare unghiulară de 3π / 4 radiani cu o viteză unghiulară inițialăω0de 0 rad / s și o viteză unghiulară finalăωde π rad / s. Cât a durat această moțiune?
\ theta = \ theta_0 + \ frac {1} {2} (\ omega_0 + \ omega) t \ implies \ frac {3 \ pi} {4} = 0 + \ frac {\ pi} {2} t \ implies t = 1.5 \ text {s}
Deși fiecare ecuație de translație are un analog de rotație, inversul nu este chiar adevărat din cauza accelerației centripete, care este o consecință a vitezei tangențialevtși indică spre axa de rotație. Chiar dacă nu există nicio modificare a vitezei unei particule care orbitează un centru de masă, aceasta reprezintă o accelerație, deoarece direcția vectorului vitezei se schimbă întotdeauna.
Exemple de matematică cinematică rotațională
1. O tijă subțire, clasificată ca un corp rigid cu o lungime de 3 m, se rotește în jurul unei axe în jurul unui capăt. Accelerează uniform de la repaus la 3π rad / s2 pe o perioadă de 10 s.
a) Care sunt viteza unghiulară medie și accelerația unghiulară în acest timp?
Ca și în cazul vitezei liniare, doar împărțiți (ω0+ ω) cu 2 pentru a obține viteza unghiulară medie: (0 + 3π s-1)/2 = 1.5π s-1.
- Radianii sunt o unitate adimensională, deci în ecuațiile cinematice, viteza unghiulară este exprimată ca s-1.
Accelerația medie este dată deω=ω0+ αt, sauα= (3π s-1/ 10 s) =0,3π s-2.
b) Câte rotații complete face tija?
Deoarece viteza medie este de 1,5π s-1 iar tija se rotește timp de 10 secunde, se deplasează printr-un total de 15π radiani. Deoarece o revoluție este de 2π radiani, aceasta înseamnă (15π / 2π) = 7,5 rotații (șapte revoluții complete) în această problemă.
c) Care este viteza tangențială a capătului tijei la timpul t = 10 s?
De candvt = ωr, șiωla momentul t = 10 este 3π s-1, vt= (3π s-1) (3 m) =9π m / s.
Momentul de inerție
Eueste definit ca momentul de inerție (numit șial doilea moment al zonei) în mișcare de rotație și este analog cu masa în scopuri de calcul. Astfel apare unde ar apărea masa în lumea mișcării liniare, poate cel mai important în calcularea impulsului unghiularL. Acesta este produsulEușiω,și este un vector cu aceeași direcție caω.
I = mr2 pentru o particulă punctuală, dar altfel depinde de forma obiectului care face rotirea, precum și de axa de rotație. Consultați Resursele pentru o listă la îndemână de valori aleEupentru forme comune.
Masa este diferită, deoarece cantitatea din cinematica de rotație la care se referă, momentul de inerție, ea însășiconținemasa ca componentă.