Ecuațiile cinematice descriu mișcarea unui obiect care suferă o accelerație constantă. Aceste ecuații raportează variabilele de timp, poziție, viteză și accelerație ale unui obiect în mișcare, permițând rezolvarea oricăreia dintre aceste variabile dacă sunt cunoscute celelalte.
Mai jos este o descriere a unui obiect care suferă o mișcare constantă de accelerație într-o singură dimensiune. Variabila t este pentru timp, poziția este X, viteză v și accelerație A. Indiciile eu și f reprezintă „inițial” și respectiv „final”. Se presupune că t = 0 la Xeu și veu.
(Introduceți imaginea 1)
Lista de ecuații cinematice
Există trei ecuații cinematice primare enumerate mai jos, care se aplică atunci când se lucrează într-o singură dimensiune. Aceste ecuații sunt:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Note despre ecuațiile cinematice
- Aceste ecuații funcționează numai cu o accelerație constantă (care poate fi zero în cazul vitezei constante).
- În funcție de sursa pe care ați citit-o, este posibil ca cantitățile finale să nu aibă un indice f, și / sau pot fi reprezentate în notația funcțională ca x (t) - citit "X în funcție de timp ”sau„X la timp t" - și v (t). Rețineți că x (t) nu inseamna X înmulțit cu t!
-
Uneori cantitatea Xf - Xeu este scris
Δx, adică „schimbarea în X, ”Sau chiar pur și simplu ca d, adică deplasare. Toate sunt echivalente. Poziția, viteza și accelerația sunt mărimi vectoriale, adică au direcția asociată cu ele. Într-o dimensiune, direcția este de obicei indicată prin semne - cantitățile pozitive sunt în direcția pozitivă și cantitățile negative sunt în direcția negativă. Indice: "0" ar putea fi folosit pentru poziția și viteza inițială în loc de eu. Acest „0” înseamnă „la t = 0, "și X0 și v0 sunt de obicei pronunțate „x-naught” și „v-naught”. * Doar una dintre ecuații nu include timpul. Atunci când scrieți date și stabiliți ce ecuație să utilizați, aceasta este cheia!
Un caz special: cădere liberă
Mișcarea de cădere liberă este mișcarea unui obiect care accelerează datorită gravitației numai în absența rezistenței aerului. Se aplică aceleași ecuații cinematice; cu toate acestea, se cunoaște valoarea accelerației de lângă suprafața Pământului. Mărimea acestei accelerații este adesea reprezentată de g, unde g = 9,8 m / s2. Direcția acestei accelerații este în jos, spre suprafața Pământului. (Rețineți că unele surse pot aproxima g ca 10 m / s2, iar alții pot folosi o valoare care este exactă cu mai mult de două zecimale.)
Strategia de rezolvare a problemelor pentru problemele kinematice într-o singură dimensiune:
Schițați o diagramă a situației și alegeți un sistem de coordonate adecvat. (Reamintim că X, v și A sunt cantități vectoriale, deci prin atribuirea unei direcții pozitive clare, va fi mai ușor să urmăriți semnele.)
Scrieți o listă a cantităților cunoscute. (Feriți-vă că uneori cunoștințele nu sunt evidente. Căutați fraze precum „începe de la odihnă”, adică asta veu = 0 sau „lovește pământul”, adică asta Xf = 0 și așa mai departe.)
Stabiliți ce cantitate dorește să găsiți întrebarea. Pentru ce este necunoscutul pentru care vei rezolva?
Alegeți ecuația cinematică adecvată. Aceasta va fi ecuația care conține cantitatea dvs. necunoscută împreună cu cantitățile cunoscute.
Rezolvați ecuația pentru cantitatea necunoscută, apoi conectați valorile cunoscute și calculați răspunsul final. (Aveți grijă la unități! Uneori va trebui să convertiți unitățile înainte de calcul.)
Exemple de cinematică unidimensională
Exemplul 1: O reclamă susține că o mașină sport poate merge de la 0 la 60 mph în 2,7 secunde. Care este accelerația acestei mașini în m / s2? Cât de departe parcurge aceste 2,7 secunde?
Soluţie:
(Inserați imaginea 2)
Cantități cunoscute și necunoscute:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Prima parte a întrebării necesită rezolvarea accelerării necunoscute. Aici putem folosi ecuația # 1:
v_f = v_i + at \ implică a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Cu toate acestea, înainte de a conecta numerele, trebuie să convertim 60 mph în m / s:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Deci accelerația este atunci:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ underline {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Pentru a afla cât de departe merge în acel timp, putem folosi ecuația # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9.93 \ times 2.7 ^ 2 = \ underline {\ bold {36.2} \ text {m}}
Exemplul 2: O minge este aruncată în sus cu o viteză de 15 m / s de la o înălțime de 1,5 m. Cât de repede merge când lovește pământul? Cât durează să lovești pământul?
Soluţie:
(Introduceți imaginea 3)
Cantități cunoscute și necunoscute:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Pentru a rezolva prima parte, putem folosi ecuația # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ implică v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Totul este deja în unități consistente, așa că putem introduce valori:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ approx \ pm16 \ text {m / s}
Există două soluții aici. Care este corect? Din diagrama noastră, putem vedea că viteza finală ar trebui să fie negativă. Deci, răspunsul este:
v_f = \ underline {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Pentru a rezolva timpul, putem folosi fie ecuația # 1, fie ecuația # 2. Deoarece ecuația nr. 1 este mai ușor de utilizat, o vom folosi pe aceea:
v_f = v_i + at \ implică t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ approx \ underline {\ bold {3.2} \ text {s }}
Rețineți că răspunsul la prima parte a acestei întrebări nu a fost 0 m / s. Deși este adevărat că după ce mingea aterizează, va avea o viteză 0, această întrebare vrea să știe cât de repede merge în acea fracțiune de secundă înainte de impact. Odată ce mingea intră în contact cu solul, ecuațiile noastre cinematice nu se mai aplică, deoarece accelerația nu va fi constantă.
Ecuații cinematice pentru mișcarea proiectilului (două dimensiuni)
Un proiectil este un obiect care se mișcă în două dimensiuni sub influența gravitației Pământului. Traseul său este o parabolă, deoarece singura accelerație se datorează gravitației. Ecuațiile cinematice pentru mișcarea proiectilului iau o formă ușor diferită de ecuațiile cinematice enumerate mai sus. Folosim faptul că componentele mișcării sunt perpendiculare între ele - cum ar fi orizontală X direcția și verticala y direcție - sunt independenți.
Strategia de rezolvare a problemelor pentru problemele cinematice ale mișcării proiectilelor:
Schițați o diagramă a situației. La fel ca în cazul mișcării unidimensionale, este util să schițăm scenariul și să indicăm sistemul de coordonate. În loc să folosiți etichetele X, v și A pentru poziție, viteză și accelerație, avem nevoie de un mod de etichetare a mișcării în fiecare dimensiune separat.
Pentru direcția orizontală, este cel mai frecvent utilizat X pentru poziție și vX pentru componenta x a vitezei (rețineți că accelerația este 0 în această direcție, deci nu avem nevoie de o variabilă pentru aceasta.) y direcție, este cel mai frecvent de utilizat y pentru poziție și vy pentru componenta y a vitezei. Accelerarea poate fi fie etichetată Ay sau putem folosi faptul că știm că accelerația datorată gravitației este g în direcția y negativă și pur și simplu folosiți asta în schimb.
Scrieți o listă a cantităților cunoscute și necunoscute împărțind problema în două secțiuni: mișcare verticală și orizontală. Utilizați trigonometria pentru a găsi componentele x și y ale oricăror mărimi vectoriale care nu se află de-a lungul unei axe. Poate fi util să listați acest lucru în două coloane:
(introduceți tabelul 1)
Notă: Dacă viteza este dată ca o magnitudine împreună cu un unghi, Ѳ, deasupra orizontalei, apoi folosiți descompunerea vectorială, vX= vcos (Ѳ) și vy= vsin (Ѳ).
Putem lua în considerare cele trei ecuații cinematice ale noastre dinainte și le putem adapta la direcțiile x și respectiv y.
Direcția X:
x_f = x_i + v_xt
Direcția Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Rețineți că accelerația în y direcția este -g dacă presupunem că sus este pozitiv. O concepție greșită obișnuită este că g = -9,8 m / s2, dar acest lucru este incorect; g în sine este pur și simplu magnitudinea accelerației: g = 9,8 m / s2, deci trebuie să specificăm că accelerația este negativă.
Rezolvați o necunoscută într-una dintre acele dimensiuni, apoi conectați ceea ce este comun în ambele direcții. În timp ce mișcarea în cele două dimensiuni este independentă, se întâmplă pe aceeași scală de timp, deci variabila de timp este aceeași în ambele dimensiuni. (Timpul necesar mișcării verticale a mingii este același cu timpul necesar mișcării orizontale.)
Exemple cinematice de mișcare proiectilă
Exemplul 1: Un proiectil este lansat orizontal de pe o stâncă de 20 m înălțime cu o viteză inițială de 50 m / s. Cât durează să lovești pământul? Cât de departe de baza stâncii aterizează?
(introduceți imaginea 4)
Cantități cunoscute și necunoscute:
(introduceți tabelul 2)
Putem găsi timpul necesar pentru a lovi solul folosind a doua ecuație de mișcare verticală:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implică t = \ sqrt {\ frac {(2 \ times 20)} g} = \ underline {\ bold {2.02} \ text {s} }
Apoi pentru a găsi unde aterizează, Xf, putem folosi ecuația mișcării orizontale:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ underline {\ bold {101} \ text {s}}
Exemplul 2: O minge este lansată la 100 m / s de la nivelul solului la un unghi de 30 de grade cu orizontală. Unde aterizează? Când este viteza sa cea mai mică? Care este locația sa în acest moment?
(introduceți imaginea 5)
Cantități cunoscute și necunoscute:
Mai întâi trebuie să împărțim vectorul viteză în componente:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ approx 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ text {m / s}
Tabelul nostru de cantități este apoi:
(introduceți tabelul 3)
Mai întâi trebuie să găsim timpul în care mingea este în zbor. Putem face acest lucru cu a doua ecuație verticală_. Rețineți că folosim simetria parabolei pentru a determina că _y final viteza este negativa inițialei:
Apoi stabilim cât de departe se deplasează în X direcția în acest timp:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ times 10,2 \ approx \ underline {\ bold {883} \ text m}
Folosind simetria căii parabolice, putem determina că viteza este cea mai mică la 5,1 s, când proiectilul este la vârful mișcării sale și componenta verticală a vitezei este 0. Componentele x și y ale mișcării sale în acest moment sunt:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ times 5.1 \ approx \ underline {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9.8 \ times 5.1 ^ 2 \ approx \ underline {\ bold {128} \ text {m}}
Derivarea ecuațiilor cinematice
Ecuația nr. 1: Dacă accelerația este constantă, atunci:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Rezolvând viteza, avem:
v_f = v_i + at
Ecuația nr. 2: Viteza medie poate fi scrisă în două moduri:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Dacă înlocuim _vf _cu expresia din ecuația # 1, obținem:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Rezolvarea pentru Xf dă:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 la ^ 2
Ecuația # 3: Începeți prin rezolvarea pentru t în ecuația # 1
v_f = v_i + at \ implică t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Conectați această expresie pentru t în relația de viteză medie:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implica \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Rearanjarea acestei expresii oferă:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)