Legile mișcării pendulului

Pendulele au proprietăți interesante pe care fizicienii le folosesc pentru a descrie alte obiecte. De exemplu, orbita planetară urmează un model similar și balansarea pe un set de leagăn poate simți că ești pe un pendul. Aceste proprietăți provin dintr-o serie de legi care guvernează mișcarea pendulului. Învățând aceste legi, puteți începe să înțelegeți câteva dintre principiile de bază ale fizicii și ale mișcării în general.

Mișcarea unui pendul poate fi descrisă folosind

in careθreprezintă unghiul dintre șir și linia verticală din centru,treprezintă timpul șiTeste perioada, timpul necesar pentru ca un ciclu complet al mișcării pendulului să se producă (măsurat prin1 / f), a mișcării pentru un pendul.

​Mișcare armonică simplă, sau mișcare care descrie modul în care viteza unui obiect oscilează proporțional cu cantitatea de deplasare din echilibru, poate fi utilizată pentru a descrie ecuația unui pendul. Oscilația unui pendul este menținută în mișcare de această forță care acționează asupra lui în timp ce se mișcă înainte și înapoi.

•••Syed Hussain Ather

Legile care guvernează mișcarea pendulului au dus la descoperirea unei proprietăți importante. Fizicienii împart forțele într-o componentă verticală și orizontală. În mișcare pendul,trei forțe lucrează direct pe pendul: masa bobului, gravitația și tensiunea în coardă. Masa și gravitația funcționează vertical în jos. Deoarece pendulul nu se mișcă în sus sau în jos, componenta verticală a tensiunii șirului anulează masa și gravitația.

Acest lucru arată că masa unui pendul nu are nicio relevanță pentru mișcarea acestuia, dar tensiunea orizontală a șirului are. Mișcarea armonică simplă este similară cu mișcarea circulară. Puteți descrie un obiect care se mișcă pe o cale circulară așa cum se arată în figura de mai sus, determinând unghiul și raza pe care o ia în calea circulară corespunzătoare. Apoi, folosind trigonometria triunghiului dreptunghiular între centrul cercului, poziția obiectului și deplasarea în ambele direcții x și y, puteți găsi ecuațiix = rsin (θ)șiy = rcos (θ).​

Ecuația unidimensională a unui obiect în mișcare armonică simplă este dată dex = r cos (ωt).Puteți înlocui în continuareApentrurin careAesteamplitudine, deplasarea maximă față de poziția inițială a obiectului.

Viteza unghiularăωîn ceea ce privește timpultpentru aceste unghiuriθeste dat deθ = ωt. Dacă înlocuiți ecuația care leagă viteza unghiulară de frecvențăf​, ​ω = 2​​πf, vă puteți imagina această mișcare circulară, apoi, ca parte a unui pendul care se leagănă înainte și înapoi, atunci ecuația de mișcare armonică simplă rezultată este

•••Syed Hussain Ather

Pendulele, ca masele de pe un izvor, sunt exemple deoscilatoare armonice simple: Există o forță de refacere care crește în funcție de cât de deplasat este pendulul, iar mișcarea lor poate fi descrisă folosindecuația oscilatorului armonic simplu​

in careθreprezintă unghiul dintre șir și linia verticală din centru,treprezintă timpul șiTesteperioadă, timpul necesar pentru ca un ciclu complet al mișcării pendulului să se producă (măsurat de1 / f), a mișcării pentru un pendul.

​θ_maxeste un alt mod de a defini maximul unghiului oscilează în timpul mișcării pendulului și este un alt mod de a defini amplitudinea pendulului. Acest pas este explicat mai jos în secțiunea „Definiție simplă a pendulului”.

O altă implicație a legilor unui pendul simplu este că perioada de oscilație cu lungime constantă este independentă de dimensiunea, forma, masa și materialul obiectului de la capătul șirului. Acest lucru este arătat clar prin simpla derivare a pendulului și ecuațiile care rezultă.

Puteți determina ecuația pentru apendul simplu, definiția care depinde de un oscilator armonic simplu, dintr-o serie de pași care încep cu ecuația de mișcare pentru un pendul. Deoarece forța de greutate a unui pendul este egală cu forța mișcării pendulului, le puteți seta egale una cu cealaltă folosind a doua lege a lui Newton cu o masă a pendulului.M, lungimea corziiL, unghiθ,acceleratie gravitationalagși intervalul de timpt​.

•••Syed Hussain Ather

Ați stabilit a doua lege a lui Newton egală cu momentul de inerțieI = mr²pentru ceva masămși raza mișcării circulare (lungimea șirului în acest caz)rde ori accelerația unghiularăα​.

1. ​ΣF = Ma: A doua lege a lui Newton prevede că forța netăΣFpe un obiect este egal cu masa obiectului înmulțită cu accelerația.
2. ​Ma = I α: Aceasta vă permite să setați forța de accelerație gravitațională (-Mg sin (θ) L)egală cu forța de rotație
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I α​: Puteți obține direcția forței verticale datorată gravitației (-Mg) prin calcularea accelerației capăcat (θ) Ldacăsin (θ) = d / Lpentru unele deplasări orizontaledși unghiulθ​ pentru a da seama de direcție.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Înlocuiți ecuația cu momentul de inerție al unui corp rotativ folosind lungimea șirului L ca rază.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Contabilizați accelerația unghiulară prin substituirea celei de-a doua derivate a unghiului în raport cu timpul pentruα.Acest pas necesită calcul și ecuații diferențiale.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Puteți obține acest lucru din rearanjarea ambelor părți ale ecuației
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Puteți aproximapăcat (θ)la fel deθîn scopul unui pendul simplu la unghiuri foarte mici de oscilație
   
8. ​θ (t) = θ_maxcos (t (L / g)²): Ecuația mișcării are această soluție. O puteți verifica luând a doua derivată a acestei ecuații și lucrând pentru a obține pasul 7.

Există și alte modalități de a realiza o simplă derivare a pendulului. Înțelegeți semnificația din spatele fiecărui pas pentru a vedea cum sunt legate. Puteți descrie o mișcare simplă a pendulului folosind aceste teorii, dar ar trebui să luați în considerare și alți factori care pot afecta teoria simplă a pendulului.

Dacă comparați rezultatul acestei derivări

la ecuația unui oscilator armonic simpluby setându-le egale una cu cealaltă, puteți obține o ecuație pentru perioada T:

Observați că această ecuație nu depinde de masăMa pendulului, amplitudineaθ_max, nici la timpt. Asta înseamnă că perioada este independentă de masă, amplitudine și timp, dar, în schimb, se bazează pe lungimea șirului. Vă oferă un mod concis de exprimare a mișcării pendulului.

Cu ecuația pentru o perioadă, puteți rearanja ecuația pentru a obține

și înlocuiți cu 1 secTși9,8 m / s²pentruga obtineL =0,0025 m. Rețineți că aceste ecuații ale teoriei pendulei simple presupun că lungimea șirului este fără frecare și fără masă. Pentru a lua în considerare acești factori ar necesita ecuații mai complicate.

Puteți trage unghiul înapoi al pendululuiθa-l lăsa să se balanseze înainte și înapoi pentru a-l vedea oscilând la fel ca un arc. Pentru un pendul simplu îl puteți descrie folosind ecuațiile de mișcare ale unui oscilator armonic simplu. Ecuația mișcării funcționează bine pentru valori mai mici ale unghiului șiamplitudine, unghiul maxim, deoarece modelul simplu de pendul se bazează pe aproximarea căpăcat (θ)​ ≈ ​θpentru un unghi de pendulθ.Deoarece unghiurile și amplitudinile valorilor devin mai mari de aproximativ 20 de grade, această aproximare nu funcționează la fel de bine.

Încercați-o singur. Un pendul care se balansează cu un unghi inițial mareθnu va oscila la fel de regulat pentru a vă permite să utilizați un oscilator armonic simplu pentru a-l descrie. La un unghi inițial mai micθ, pendulul se apropie mult mai ușor de o mișcare regulată, oscilatorie. Deoarece masa unui pendul nu are nicio influență asupra mișcării sale, fizicienii au dovedit că toate pendulele au aceeași perioadă de oscilație unghiuri - unghiul dintre centrul pendulului în punctul său cel mai înalt și centrul pendulului în poziția sa oprită - mai puțin de 20 grade.

Pentru toate scopurile practice ale unui pendul în mișcare, pendulul va decelera în cele din urmă și se va opri din cauza frecare între șir și punctul său fixat de deasupra, precum și datorită rezistenței aerului dintre pendul și aer în jurul ei.

Pentru exemple practice de mișcare a pendulului, perioada și viteza ar depinde de tipul de material utilizat care ar provoca aceste exemple de frecare și rezistență la aer. Dacă efectuați calcule privind comportamentul oscilator al pendulului teoretic fără a ține cont de aceste forțe, atunci acesta va explica un pendul care oscilează infinit.

Prima lege a lui Newton definește viteza obiectelor ca răspuns la forțe. Legea prevede că, dacă un obiect se mișcă cu o viteză specifică și în linie dreaptă, va continua să se deplaseze cu acea viteză și în linie dreaptă, infinit, atâta timp cât nu acționează nicio altă forță asupra lui. Imaginați-vă că aruncați o minge direct înainte - mingea ar înconjura pământul iar și iar dacă rezistența aerului și gravitația nu ar acționa asupra ei. Această lege arată că, din moment ce un pendul se mișcă lateral și nu în sus și în jos, nu are forțe în sus și în jos care acționează asupra lui.

A doua lege a lui Newton este utilizată la determinarea forței nete pe pendul prin stabilirea forței gravitaționale egale cu forța șirului care trage înapoi pe pendul. Setarea acestor ecuații egale una cu cealaltă vă permite să obțineți ecuațiile de mișcare pentru pendul.

A treia lege a lui Newton prevede că fiecare acțiune are o reacție de forță egală. Această lege funcționează cu prima lege care arată că, deși masa și gravitația anulează componenta verticală a vectorului de tensiune a șirului, nimic nu anulează componenta orizontală. Această lege arată că forțele care acționează asupra unui pendul se pot anula reciproc.

Fizicienii folosesc prima, a doua și a treia lege a lui Newton pentru a dovedi că tensiunea orizontală a mișcării pendulului, indiferent de masă sau gravitație. Legile unui pendul simplu urmează ideile celor trei legi ale mișcării lui Newton.