Jak rozwiązywać nierówności liniowe

Powiedzmy, że musisz iść na zakupy spożywcze i masz ograniczony budżet. Chcesz kupić makaron i chleb dla dużej grupy, ale nie możesz wydać więcej niż dwadzieścia dolarów. Teoretycznie można było kupić tylko chleb i bez makaronu lub dużo chleba i tylko jedno pudełko makaronu. Ile różnych kombinacji pudełek po makaronie i bochenków chleba można kupić? A jak możesz w pełni wykorzystać każdą z nich za swoje pieniądze?

Takie problemy nazywają sięnierówności liniowe: równania, których wykres jest linią, ale zamiast znaku równości używają symboli nierówności, takich jak > lub <.>

TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)

Aby rozwiązać nierówność liniową, musisz znaleźć wszystkie kombinacjexitakktóre sprawiają, że nierówność jest prawdziwa. Nierówności liniowe można rozwiązywać za pomocą algebry lub wykresów.

​Do​ ​rozwiązać nierówność liniową(lub dowolne równanie), musisz znaleźć wszystkie kombinacjexitakktóre sprawiają, że równanie jest prawdziwe.

Nierówności liniowe można rozwiązywać algebraicznie lub można je przedstawić na wykresie (lub jedno i drugie!). Przeanalizujmy razem kilka przykładowych problemów.

Ten proces jestprawieto samo, co rozwiązywanie równania liniowego, ale z kluczowym wyjątkiem. Spójrz na poniższy problem.

Najpierw zdobądź wszystkiex-es po tej samej stronie znaku „większe niż”. Dodajxobu stronom, aby anulowaćxpo prawej stronie i mają tylkoxpo lewej.

Teraz dodaj sześć po obu stronach:

Jak dotąd było to dokładnie tak, jak w przypadku każdego równania liniowego. Ale teraz wszystko się zmieni!Kiedy dzielisz obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz zmienić kierunek symbolu nierówności​.

Więc dla -3x> 18, podzielimy obie strony przez −3, a następnie odwrócimy znak > na znak <.>

Co powiesz na wykresy? Po raz kolejny proces jest bardzo podobny do równań liniowych, ale jest ważna różnica. Ponieważ musisz wskazaćwszystkokombinacjixitakktóre sprawiają, że nierówność jest prawdziwa, narysujesz linię tak jak zwykle, a następnie zacienisz część wykresu, która przedstawia pozostałe możliwe rozwiązania.

Na przykład, jak narysowałbyś nierówność?tak​ < 3​x​ + 6?

Po pierwsze, można zauważyć, że nierówność jest wforma przecięcia nachylenia, co oznacza, że ​​możemy użyćtak-intercept i nachylenie, aby szybko wykreślić linię.

tak-punkt przecięcia wynosi 6, więc narysuj punkt na (0, 6), następnie użyj faktu, że nachylenie wynosi 3, aby podnieść trzy jednostki i jedną jednostkę w prawo, a następnie narysuj punkt. Twój punkt powinien znajdować się w (1, 9). Aby linia była ładna i ładna, fajnie jest zdobyć trzy punkty, więc narysuj jeszcze jeden punkt, zaczynając od (1, 9) i idąc w górę o trzy, ponownie przez jeden. Dostaniesz punkt (2, 12). Teraz narysuj linię łącząc punkty.

Wspaniały! Właśnie wykreśliłeś na wykresie równośćtak​ = 3​x+ 6, ale pamiętaj, że oryginalne równanie totak​ < 3​x+ 6. Użyj tej prostej sztuczki, aby zacienić odpowiednią część wykresu:gdy nierówność jest w formie przecięcia nachylenia, jeśli masztaktak>, a następnie cieniuj wszystko powyżej linii.​

Ale sprawdź dokładnie, aby się upewnić! Kiedy zacieniasz całą sekcję wykresu, oznacza to, że którykolwiek z tych punktów powinien sprawić, że równanie będzie prawdziwe. Złap losowy punkt, który zacieniłeś i podłączxitakw pierwotną nierówność. Jeśli to zadziała, możesz iść. Jeśli tak nie jest, musisz dwukrotnie sprawdzić swój wykres i/lub algebrę.

Ostatnia rzecz:gdy masz > lub ​ ≤, ​linia musi być ciągła.To pokazuje, czy punkty na samej linii są uwzględnione w rozwiązaniu.

Rozwiązywanie układu nierówności liniowych jest bardzo podobne do rozwiązywania układu równań.Wykresyto najprostszy sposób na rozwiązanie nierówności liniowych.

Aby wykreślić system nierówności liniowych, narysuj swoją pierwszą nierówność, tak jak to zrobiłeś, powyżej i zacienij obszary powyżej lub poniżej linii. Następnie narysuj drugą nierówność. Po raz kolejny zacienisz wszystkie sekcje wykresu, które sprawiają, że nierówność jest prawdziwa. W większości przypadków na wykresie będzie jeden obszar, który zacieniasz dwukrotnie! To jestrozwiązaniedo systemu nierówności, bo toczęść wykresu, w której obie nierówności są prawdziwe​.