Jak znaleźć równanie wykładnicze z dwoma punktami

Jeśli znasz dwa punkty, które leżą na określonej krzywej wykładniczej, możesz zdefiniować krzywą, rozwiązując ogólną funkcję wykładniczą za pomocą tych punktów. W praktyce oznacza to podstawienie punktów za y i x w równaniu y = ab^x. Procedura jest łatwiejsza, jeśli wartość x dla jednego z punktów wynosi 0, co oznacza, że ​​punkt znajduje się na osi y. Jeśli żaden punkt nie ma zerowej wartości x, proces rozwiązywania dla x i y jest nieco bardziej skomplikowany.

Wiele ważnych systemów podąża za wykładniczymi wzorcami wzrostu i zaniku. Na przykład liczba bakterii w kolonii zwykle rośnie wykładniczo, a promieniowanie otoczenia w atmosferze po zdarzeniu jądrowym zwykle spada wykładniczo. Zbierając dane i wykreślając krzywą, naukowcy mają lepszą pozycję do przewidywania.

Każdy punkt na wykresie dwuwymiarowym może być reprezentowany przez dwie liczby, które zwykle zapisuje się w in forma (x, y), gdzie x określa odległość poziomą od początku, a y reprezentuje pion dystans. Na przykład punkt (2, 3) znajduje się dwie jednostki na prawo od osi y i trzy jednostki powyżej osi x. Z drugiej strony punkt (-2, -3) znajduje się dwie jednostki na lewo od osi y. i trzy jednostki poniżej osi x.

Jeśli masz dwa punkty, (x₁, tak₁) i (x₂, tak₂), możesz zdefiniować funkcję wykładniczą, która przechodzi przez te punkty, zastępując je w równaniu y = ab^x i rozwiązywanie dla a i b. Ogólnie rzecz biorąc, musisz rozwiązać tę parę równań:

tak₁ = ab^x1 i ty₂ = ab^x2, .

W tej formie matematyka wygląda na trochę skomplikowaną, ale wygląda mniej po wykonaniu kilku przykładów.

Jeśli jedna z wartości x -- powiedz x₁ -- wynosi 0, operacja staje się bardzo prosta. Na przykład rozwiązanie równania dla punktów (0, 2) i (2, 4) daje:

2 = ab⁰ i 4 = ab². Ponieważ wiemy, że b⁰ = 1, pierwsze równanie staje się 2 = a. Podstawienie a w drugim równaniu daje 4 = 2b², które upraszczamy do b² = 2 lub b = pierwiastek kwadratowy z 2, co równa się około 1,41. Funkcja definiująca to wtedy r = 2 (1,41)^x.

Jeśli żadna z wartości x nie jest równa zero, rozwiązanie pary równań jest nieco bardziej kłopotliwe. Henochmat przedstawia prosty przykład wyjaśniający tę procedurę. W swoim przykładzie wybrał parę punktów (2, 3) i (4, 27). Daje to następującą parę równań:

27 = ab⁴

3 = ab²

Jeśli podzielisz pierwsze równanie przez drugie, otrzymasz

9 = b²

więc b = 3. Możliwe, że b również będzie równe -3, ale w tym przypadku załóżmy, że jest dodatnie.

Możesz podstawić tę wartość za b w dowolnym równaniu, aby otrzymać a. Łatwiej jest użyć drugiego równania, więc:

3 = (3)² które można uprościć do 3 = a9, a = 3/9 lub 1/3.

Równanie przechodzące przez te punkty można zapisać jako r = 1/3(3)^x.

Od 1910 r. wzrost populacji ludzkiej był wykładniczy, a wykreślając krzywą wzrostu, naukowcy mają lepszą pozycję do przewidywania i planowania przyszłości. W 1910 r. ludność świata liczyła 1,75 mld, aw 2010 r. 6,87 mld. Przyjmując 1910 jako punkt wyjścia, otrzymujemy parę punktów (0, 1,75) i (100, 6,87). Ponieważ wartość x pierwszego punktu wynosi zero, możemy łatwo znaleźć a.

1,75 = ab⁰ lub a = 1,75. Wstawienie tej wartości wraz z wartościami z drugiego punktu do ogólnego równania wykładniczego daje 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, co daje wartość b jako setny pierwiastek z 6,87/1,75 lub 3,93. Więc równanie staje się y = 1,75 (setny pierwiastek z 3,93)^x. Chociaż potrzeba do tego czegoś więcej niż suwaka suwakowego, naukowcy mogą wykorzystać to równanie do prognozowania przyszłej liczby ludności, aby pomóc obecnym politykom w tworzeniu odpowiednich polityk.