Jeśli znasz dwa punkty, które leżą na określonej krzywej wykładniczej, możesz zdefiniować krzywą, rozwiązując ogólną funkcję wykładniczą za pomocą tych punktów. W praktyce oznacza to podstawienie punktów za y i x w równaniu y = abx. Procedura jest łatwiejsza, jeśli wartość x dla jednego z punktów wynosi 0, co oznacza, że punkt znajduje się na osi y. Jeśli żaden punkt nie ma zerowej wartości x, proces rozwiązywania dla x i y jest nieco bardziej skomplikowany.
Dlaczego funkcje wykładnicze są ważne
Wiele ważnych systemów podąża za wykładniczymi wzorcami wzrostu i zaniku. Na przykład liczba bakterii w kolonii zwykle rośnie wykładniczo, a promieniowanie otoczenia w atmosferze po zdarzeniu jądrowym zwykle spada wykładniczo. Zbierając dane i wykreślając krzywą, naukowcy mają lepszą pozycję do przewidywania.
Od pary punktów do wykresu
Każdy punkt na wykresie dwuwymiarowym może być reprezentowany przez dwie liczby, które zwykle zapisuje się w in forma (x, y), gdzie x określa odległość poziomą od początku, a y reprezentuje pion dystans. Na przykład punkt (2, 3) znajduje się dwie jednostki na prawo od osi y i trzy jednostki powyżej osi x. Z drugiej strony punkt (-2, -3) znajduje się dwie jednostki na lewo od osi y. i trzy jednostki poniżej osi x.
Jeśli masz dwa punkty, (x1, tak1) i (x2, tak2), możesz zdefiniować funkcję wykładniczą, która przechodzi przez te punkty, zastępując je w równaniu y = abx i rozwiązywanie dla a i b. Ogólnie rzecz biorąc, musisz rozwiązać tę parę równań:
tak1 = abx1 i ty2 = abx2, .
W tej formie matematyka wygląda na trochę skomplikowaną, ale wygląda mniej po wykonaniu kilku przykładów.
Jeden punkt na osi X
Jeśli jedna z wartości x -- powiedz x1 -- wynosi 0, operacja staje się bardzo prosta. Na przykład rozwiązanie równania dla punktów (0, 2) i (2, 4) daje:
2 = ab0 i 4 = ab2. Ponieważ wiemy, że b0 = 1, pierwsze równanie staje się 2 = a. Podstawienie a w drugim równaniu daje 4 = 2b2, które upraszczamy do b2 = 2 lub b = pierwiastek kwadratowy z 2, co równa się około 1,41. Funkcja definiująca to wtedy r = 2 (1,41)x.
Żaden punkt na osi X
Jeśli żadna z wartości x nie jest równa zero, rozwiązanie pary równań jest nieco bardziej kłopotliwe. Henochmat przedstawia prosty przykład wyjaśniający tę procedurę. W swoim przykładzie wybrał parę punktów (2, 3) i (4, 27). Daje to następującą parę równań:
27 = ab4
3 = ab2
Jeśli podzielisz pierwsze równanie przez drugie, otrzymasz
9 = b2
więc b = 3. Możliwe, że b również będzie równe -3, ale w tym przypadku załóżmy, że jest dodatnie.
Możesz podstawić tę wartość za b w dowolnym równaniu, aby otrzymać a. Łatwiej jest użyć drugiego równania, więc:
3 = (3)2 które można uprościć do 3 = a9, a = 3/9 lub 1/3.
Równanie przechodzące przez te punkty można zapisać jako r = 1/3(3)x.
Przykład z prawdziwego świata
Od 1910 r. wzrost populacji ludzkiej był wykładniczy, a wykreślając krzywą wzrostu, naukowcy mają lepszą pozycję do przewidywania i planowania przyszłości. W 1910 r. ludność świata liczyła 1,75 mld, aw 2010 r. 6,87 mld. Przyjmując 1910 jako punkt wyjścia, otrzymujemy parę punktów (0, 1,75) i (100, 6,87). Ponieważ wartość x pierwszego punktu wynosi zero, możemy łatwo znaleźć a.
1,75 = ab0 lub a = 1,75. Wstawienie tej wartości wraz z wartościami z drugiego punktu do ogólnego równania wykładniczego daje 6,87 = 1,75b100, co daje wartość b jako setny pierwiastek z 6,87/1,75 lub 3,93. Więc równanie staje się y = 1,75 (setny pierwiastek z 3,93)x. Chociaż potrzeba do tego czegoś więcej niż suwaka suwakowego, naukowcy mogą wykorzystać to równanie do prognozowania przyszłej liczby ludności, aby pomóc obecnym politykom w tworzeniu odpowiednich polityk.