Jedną z ważnych operacji, które wykonujesz w rachunku różniczkowym, jest znajdowanie pochodnych. Pochodna funkcji nazywana jest również szybkością zmian tej funkcji. Na przykład, jeśli x (t) jest pozycją samochodu w dowolnym momencie t, to pochodna x, która jest zapisywana jako dx/dt, jest prędkością samochodu. Pochodną można również zwizualizować jako nachylenie linii stycznej do wykresu funkcji. Na poziomie teoretycznym tak matematycy znajdują pochodne. W praktyce matematycy używają zestawów podstawowych reguł i tablic przeglądowych.
Pochodna jako nachylenie
Nachylenie linii między dwoma punktami to wzrost lub różnica wartości y podzielona przez przebieg lub różnica wartości x. Nachylenie funkcji y (x) dla pewnej wartości x definiuje się jako nachylenie prostej stycznej do funkcji w punkcie [x, y (x)]. Aby obliczyć nachylenie, skonstruuj linię między punktem [x, y (x)] a pobliskim punktem [x+h, y (x+h)], gdzie h jest bardzo małą liczbą. Dla tej linii bieg lub zmiana wartości x to h, a wzrost lub zmiana wartości y to y (x+h) - y (x). W konsekwencji nachylenie y (x) w punkcie [x, y (x)] jest w przybliżeniu równe [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)]/h. Aby uzyskać dokładne nachylenie, obliczasz wartość nachylenia, gdy h staje się coraz mniejsze, aż do „granicy”, gdzie dochodzi do zera. Obliczone w ten sposób nachylenie jest pochodną y(x), która jest zapisywana jako y’(x) lub dy/dx.
Pochodna funkcji potęgowej
Możesz użyć metody nachylenia/limitu do obliczenia pochodnych funkcji, w których y równa się x do potęgi a lub y (x) = x^a. Na przykład, jeśli y równa się x do sześcianu, y (x) = x^3, to dy/dx jest granicą, przy której h dochodzi do zera [(x + h)^3 - x^3]/h. Rozszerzenie (x+h)^3 daje [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h, co po podzieleniu zmniejsza się do 3x^2 + 3xh^2 + h^2 przez godz. W granicy, gdy h dochodzi do zera, wszystkie wyrazy, które mają w sobie h, również idą do zera. Czyli y’(x) = dy/dx = 3x^2. Możesz to zrobić dla wartości innych niż 3 i ogólnie możesz pokazać, że d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1).
Pochodna z serii mocy
Wiele funkcji można zapisać jako tak zwane szeregi potęgowe, które są sumą wyrazów o nieskończonej liczbie, gdzie każdy ma postać C(n) x^n, gdzie x jest zmienną, n jest liczbą całkowitą, a C(n) jest określoną liczbą dla każdej wartości rzeczownik Na przykład szereg potęgowy dla funkcji sinus to Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +..., gdzie „...” oznacza terminy kontynuowane do nieskończoności. Jeśli znasz szereg potęgowy funkcji, możesz użyć pochodnej potęgi x^n do obliczenia pochodnej funkcji. Na przykład pochodna Sin (x) jest równa 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +..., co jest szeregiem potęgowym dla Cos (x).
Pochodne z tabel
Pochodne podstawowych funkcji, takich jak potęgi, takie jak x^a, funkcje wykładnicze, funkcje logarytmiczne i funkcje trygonometryczne, znajdują się za pomocą metody nachylenia/limitu, metody szeregów potęgowych lub innych metod. Te instrumenty pochodne są następnie wymienione w tabelach. Na przykład możesz sprawdzić, że pochodną Sin (x) jest Cos (x). Gdy funkcje złożone są kombinacją funkcji podstawowych, potrzebne są specjalne reguły, takie jak reguła łańcucha i reguła produktu, które są również podane w tabelach. Na przykład używasz reguły łańcucha, aby znaleźć pochodną Sin (x^2) to 2xCos (x^2). Używasz reguły iloczynu, aby znaleźć pochodną xSin (x) to xCos (x) + Sin (x). Korzystając z tabel i prostych reguł, możesz znaleźć pochodną dowolnej funkcji. Ale gdy funkcja jest niezwykle złożona, naukowcy czasami uciekają się do pomocy programów komputerowych.