Wszyscy studenci matematyki i wielu studentów nauk ścisłych spotykają się z wielomianami na pewnym etapie studiów, ale na szczęście łatwo sobie z nimi poradzić, gdy nauczysz się podstaw. Główne operacje, które musisz wykonać z wyrażeniami wielomianowymi to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie i chociaż podział może być złożony, przez większość czasu będziesz w stanie poradzić sobie z podstawami za pomocą łatwość.
Wielomiany: definicja i przykłady
Wielomian opisuje wyrażenie algebraiczne z co najmniej jednym terminem obejmującym zmienną (lub więcej niż jeden), z wykładnikami i ewentualnie stałymi. Nie mogą zawierać dzielenia przez zmienną, nie mogą mieć wykładników ujemnych ani ułamkowych i muszą mieć skończoną liczbę wyrazów.
Ten przykład pokazuje wielomian:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
A to pokazuje kolejny:
xy^2 - 3 x + y
Istnieje wiele sposobów klasyfikowania wielomianów, w tym według stopnia (suma wykładników w członie o największej potędze, np. 3 w pierwszy przykład) i liczby zawartych w nich terminów, takich jak jednomiany (jeden wyraz), dwumiany (dwa wyrazy) i trójmiany (trzy wyrazy). warunki).
Dodawanie i odejmowanie wielomianów
Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na połączeniu terminów „podobnych”. Podobny termin to jeden z tymi samymi zmiennymi i wykładnikami co inny, ale liczba, przez którą są pomnożone (współczynnik) może być różna. Na przykład,x2 i 4x 2 są jak wyrazy, ponieważ mają tę samą zmienną i wykładnik, a 2xy 4 i 6xy 4 są jak terminy. Jednak,x2, x3, x2tak2 itak2 nie przypominają terminów, ponieważ każdy z nich zawiera różne kombinacje zmiennych i wykładników.
Dodaj wielomiany, łącząc podobne terminy w taki sam sposób, jak z innymi terminami algebraicznymi. Na przykład spójrz na problem:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
Zbierz podobne warunki, aby uzyskać:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
A następnie oceń, po prostu dodając współczynniki i łącząc w jeden składnik:
10 x^3 + 5 x + y
Pamiętaj, że nie możesz nic zrobić ztakponieważ nie ma podobnego terminu.
Odejmowanie działa w ten sam sposób:
(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) - (2 x^4 + 2 y^2 + y)
Po pierwsze, zauważ, że wszystkie terminy w prawym nawiasie są odejmowane od tych w lewym nawiasie, więc zapisz to jako:
4 x^4 + 3 y^2 + 6 y - 2 x^4 - 2 y^2- y
Połącz podobne terminy i oceń, aby uzyskać:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
W przypadku takiego problemu:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
Zauważ, że znak minus jest stosowany do całego wyrażenia w prawym nawiasie, więc dwa znaki ujemne przed 3x2 stać się znakiem dodawania:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
Następnie oblicz jak poprzednio.
Mnożenie wyrażeń wielomianowych
Mnożenie wyrażeń wielomianowych przy użyciu właściwości rozdzielczej mnożenia. Krótko mówiąc, pomnóż każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego. Spójrz na ten prosty przykład:
4 x × (2 x^2 + y)
Rozwiązujesz to za pomocą właściwości dystrybucyjnej, więc:
\begin{wyrównane} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{wyrównane}
Rozwiąż bardziej skomplikowane problemy w ten sam sposób:
\begin{wyrównany} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15 x^3 + 6 x^2 \end{wyrównany}
Te problemy mogą się komplikować w przypadku większych grup, ale podstawowy proces jest nadal taki sam.
Dzielenie wyrażeń wielomianowych
Dzielenie wyrażeń wielomianowych zajmuje więcej czasu, ale można to zrobić krok po kroku. Spójrz na wyrażenie:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
Najpierw napisz wyrażenie jak dzielenie długie, z dzielnikiem po lewej i dzielną po prawej:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
Podziel pierwszy termin dywidendy przez pierwszy termin w dzielniku i umieść wynik w wierszu nad podziałem. W tym przypadku,x2 ÷ x = x, więc:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{aligned}
Pomnóż ten wynik przez cały dzielnik, więc w tym przypadku (x + 2) × x = x2 + 2 x. Umieść ten wynik poniżej podziału:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{aligned}
Odejmij wynik w nowej linii od terminów bezpośrednio nad nim (zwróć uwagę, że technicznie zmieniasz znak, więc jeśli uzyskasz wynik negatywny, dodasz go zamiast tego) i umieść to w linii poniżej. Przesuń również ostatni okres od pierwotnej dywidendy w dół.
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
Teraz powtórz proces z dzielnikiem i nowym wielomianem w dolnej linii. Więc podziel pierwszy wyraz dzielnika (x) do pierwszego terminu dywidendy (−5x) i umieść to powyżej:
\begin{wyrównane} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{wyrównane}
Pomnóż ten wynik (−5x ÷ x= -5) przez pierwotny dzielnik (więc (x + 2) × −5 = −5 x-10) i umieść wynik w nowej dolnej linii:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \end{wyrównany}
Następnie odejmij dolną linię od następnej w górę (więc w tym przypadku zmień znak i dodaj), a wynik umieść w nowej dolnej linii:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{wyrównane}
Ponieważ na dole jest teraz rząd zer, proces jest zakończony. Gdyby pozostały niezerowe terminy, powtórzyłbyś proces ponownie. Wynik znajduje się w górnej linii, więc:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
Ten podział i kilka innych można rozwiązać prościej, jeśli możesz współczynnik wielomianu w dywidendzie.