Jak obliczyć zewnętrzną długość koła?

Jeśli jesteś blisko okna i masz widok na zewnątrz, czy zauważasz dużą obecność kręgów? Opony samochodowe, ciężarowe i rowerowe, osłony otworów na narzędzia na ulicach i kilka innych obiektów skonstruowanych przez ludzi pasują do opisu. Wiele innych rzeczy, takich jak reflektory samochodowe i różne elementy architektury, jest „okrągłych”, jeśli nie dokładnie okrągłych.

W świecie przyrodniczym i matematycznym pierwszorzędne znaczenie nabierają koła dwuwymiarowe i ich odpowiedniki w przestrzeni trójwymiarowej, czyli kule. W końcu sama Ziemia, wraz z większością innych ciał niebieskich, jest z grubsza kulista i tworzy w przekroju okrąg lub dysk.

Odległość wokół dowolnego okręgu można określić, wiedząc, jak szeroki jest okrąg, a ta pozornie tajemna obserwacja odkrywa wejście w zaskakującą liczbę problemów fizycznych i inżynierskich, w dużej mierze dzięki słynnej stałej matematycznej π ("Liczba Pi").

Aby utworzyć okrąg, zacznij od dowolnego punktu A na płaszczyźnie lub płaskiej powierzchni i poruszaj się w określonym kierunku po linii prostej, aż będziesz mieć ochotę się zatrzymać (punkt r). Następnie skręć w lewo lub w prawo i idź, aż wrócisz do pierwszego punktu zatrzymania (r), zachowując dokładnie taką samą odległość między sobą a pierwotnym punktem początkowym (A).

Właśnie wyśledziłeś obwód C waszego nowo utworzonego kręgu. Odległość przebyta od środka okręgu A do krawędzi okręgu r to is promień r, a najdalsza odległość w poprzek okręgu to średnica D, równy 2r. Wszystkie koła mają ten sam kształt, ale oczywiście niekoniecznie ten sam rozmiar.

Jeśli ktoś używa terminu „długość koła”, postaraj się uzyskać wyjaśnienie; może to oznaczać długość przez szerokość okręgu (średnica) lub jakaś inna część okręgu (cięciwa) lub może to oznaczać długość całej drogi na około koło (obwód).

Teraz masz wprowadzenie do stałej π, greckiej litery pi. Jest to liczba niewymierna lub liczba dziesiętna, która nigdy się nie kończy i nie może być dokładnie wyrażona jako ułamek. Jednak w większości przypadków ułamek 22/7, czyli około 3.14286, jest wystarczająco zbliżony do użycia w obliczeniach na poziomie nieinżynierskim.

Obwód i średnica koła związane są zależnością C = 2πr, a co za tym idzie, zależnością C = πD. Tak więc znajomość promienia koła pozwala obliczyć jego obwód i odwrotnie.

Pole koła jest również powiązane z promieniem (lub średnicą, jeśli wolisz) za pomocą stałej π, gdzie pole A = πr². Oznacza to, że jeśli chcesz wyrazić pole w postaci obwodu, musisz rozwiązać równanie C = 2πr i zastąpić:

r = C/2π

A = π(C/2π)²

A = C²/4π

Skoro już tu jesteś, równie dobrze możesz rzucić okiem na drabinę regularnych figur geometrycznych w trójwymiarową przestrzeń. Jeśli masz obwód kuli (to znaczy odległość wokół jej najszerszego punktu, jak równik otaczający kulę ziemską Ziemi), możesz obliczyć jego promień, a następnie użyć r, aby obliczyć pole powierzchni i objętość kula:

ZA_kula = 4πr²

V_kula = (4/3)πr³

Możesz użyć narzędzia online, takiego jak to, które można znaleźć w Zasobie, aby poeksperymentować z różnymi danymi wejściowymi koła (promień, średnica, obwód, powierzchnia), aby zobaczyć, co dzieje się z danymi wyjściowymi. W szczególności zwróć uwagę na to, jak zmienia się powierzchnia i obwód przy tej samej stopniowej zmianie promienia.

Co rośnie szybciej w funkcji r, powierzchni A czy obwodu C? Dlaczego matematycznie wybrałeś swoją odpowiedź?