Jedną z zalet geometrii, z perspektywy nauczyciela, jest to, że jest wysoce wizualna. Na przykład możesz wziąć twierdzenie Pitagorasa – podstawowy element budowy geometrii – i zastosować je do skonstruowania spirali podobnej do ślimaka o wielu interesujących właściwościach. Czasami nazywany spiralą pierwiastka kwadratowego lub spiralą Teodora, ten zwodniczo łatwy statek demonstruje matematyczne zależności w przyciągający wzrok sposób.
Szybki przegląd twierdzenia
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy kwadratowi dwóch pozostałych boków. Wyrażone matematycznie, oznacza to A do kwadratu + B do kwadratu = C do kwadratu. Dopóki znasz wartości dla dowolnych dwóch boków trójkąta prostokątnego, możesz użyć tego obliczenia, aby uzyskać wartość dla trzeciego boku. Rzeczywista jednostka miary, którą wybierzesz, może wynosić od cali do mil, ale związek pozostaje taki sam. Należy o tym pamiętać, ponieważ nie zawsze będziesz pracować z konkretnym pomiarem fizycznym. Możesz zdefiniować linię o dowolnej długości jako "1" do celów obliczeniowych, a następnie wyrazić każdą inną linię przez jej związek z wybraną jednostką. Tak działa spirala.
Rozpoczęcie spirali
Aby skonstruować spiralę, wykonaj kąt prosty o bokach A i B o równej długości, co stanie się wartością „1”. Następnie utwórz kolejny trójkąt prostokątny, używając boku C pierwszego trójkąta – przeciwprostokątnej – jako boku A nowego trójkąta. Zachowaj tę samą długość boku B przy wybranej przez siebie wartości 1. Powtórz ten sam proces ponownie, używając przeciwprostokątnej drugiego trójkąta jako pierwszego boku nowego trójkąta. Potrzeba 16 trójkątów, aby dojść do punktu, w którym spirala zaczęłaby nakładać się na punkt początkowy, czyli tam, gdzie zatrzymał się starożytny matematyk Teodor.
Spirala pierwiastka kwadratowego
Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że przeciwprostokątna pierwszego trójkąta musi być pierwiastkiem kwadratowym z 2, ponieważ każdy bok ma wartość 1, a 1 do kwadratu nadal wynosi 1. Dlatego każdy bok ma pole 1 do kwadratu, a po ich dodaniu wynik wynosi 2 do kwadratu. To, co sprawia, że spirala jest interesująca, to fakt, że przeciwprostokątna następnego trójkąta jest pierwiastkiem kwadratowym z 3, a następna jest pierwiastkiem kwadratowym z 4 i tak dalej. Dlatego często nazywa się ją spiralą pierwiastka kwadratowego, a nie spiralą pitagorejską lub spiralą Teodora. Z praktycznego punktu widzenia, jeśli planujesz stworzyć spiralę rysując na papierze lub wycinając papierowe trójkąty i mocując je do podkładu kartonowego, możesz z wyprzedzeniem obliczyć, jak duża może być twoja wartość 1, jeśli gotowa spirala ma zmieścić się na strona. Twoja najdłuższa linia będzie pierwiastkiem kwadratowym z 17, niezależnie od wybranej wartości 1. Możesz cofnąć się od rozmiaru strony, aby znaleźć odpowiednią wartość 1.
Spirala jako narzędzie nauczania
Spirala ma wiele zastosowań w klasie lub na korepetycjach, w zależności od wieku uczniów i ich znajomości podstaw geometrii. Jeśli wprowadzasz tylko podstawowe pojęcia, tworzenie spirali jest przydatnym samouczkiem na temat twierdzenia Pitagorasa. Na przykład możesz poprosić ich o wykonanie obliczeń w oparciu o wartość 1, a następnie ponownie przy użyciu rzeczywistej długości w calach lub centymetrach. Podobieństwo spirali do muszli ślimaka daje okazję do omówienia sposobów matematycznych relacje pojawiają się w świecie przyrody i – dla młodszych dzieci – nadaje się do kolorowej dekoracji schematy. Dla zaawansowanych studentów spirala pokazuje szereg intrygujących relacji, gdy przechodzi przez wiele uzwojeń.