Każdy, kto kiedykolwiek grał w bilard, zna prawo zachowania pędu, niezależnie od tego, czy zdaje sobie z tego sprawę, czy nie.
Prawo zachowania pędu jest fundamentalne w zrozumieniu i przewidywaniu, co się dzieje, gdy obiekty wchodzą w interakcję lub zderzają się. To prawo przewiduje ruchy kul bilardowych i decyduje o tym, czy ta ósemka trafi do łuzy narożnej, czy nie.
Co to jest pęd?
Pęd definiuje się jako iloczyn masy i prędkości obiektu. W postaci równania często zapisuje się to jakop = mv.
Jest to wielkość wektorowa, co oznacza, że jest z nią powiązany kierunek. Kierunek wektora pędu obiektu jest taki sam jak jego wektor prędkości.
Pęd izolowanego układu jest sumą pędów każdego pojedynczego obiektu w tym układzie. Izolowany system to system oddziałujących ze sobą obiektów, które nie wchodzą w interakcję sieciową z niczym innym. Innymi słowy, na system nie działa żadna zewnętrzna siła netto.
Badanie całkowitego pędu w izolowanym układzie jest ważne, ponieważ pozwala na przewidywanie tego, co stanie się z obiektami w układzie podczas kolizji i interakcji.
Jakie są przepisy dotyczące ochrony?
Zanim zaczniemy rozumieć prawo zachowania pędu, ważne jest, aby zrozumieć, co oznacza „zachowana ilość”.
Oszczędzanie czegoś oznacza zapobieganie marnotrawstwu lub utracie tego w jakiś sposób. W fizyce mówi się, że ilość jest zachowana, jeśli pozostaje stała. Być może słyszeliście wyrażenie, które odnosi się do zachowania energii, czyli poglądu, że energii nie można ani stworzyć, ani zniszczyć, a jedynie zmienia formę. Stąd jego całkowita ilość pozostaje stała.
Kiedy mówimy o zachowaniu pędu, mówimy o całkowitej ilości pędu, która pozostaje stała. Ten pęd może przenosić się z jednego obiektu na drugi w izolowanym systemie i nadal być uważany za zachowany, jeśli całkowity pęd w tym systemie nie ulegnie zmianie.
Drugie prawo dynamiki Newtona i prawo zachowania pędu
Prawo zachowania pędu można wyprowadzić z drugiego prawa dynamiki Newtona. Przypomnijmy, że to prawo dotyczyło siły wypadkowej, masy i przyspieszenia obiektu jakofanetto = ma.
Sztuczka polega na tym, by myśleć o tej sile wypadkowej jako działającej na system jako całość. Prawo zachowania pędu ma zastosowanie, gdy siła wypadkowa układu wynosi 0. Oznacza to, że na każdy obiekt w systemie jedyne siły, które mogą być na niego wywierane, muszą pochodzić z innych obiektów w systemie lub zostać w jakiś sposób zniesione.
Siłami zewnętrznymi mogą być tarcie, grawitacja lub opór powietrza. Muszą one albo nie działać, albo należy im przeciwdziałać, aby siła netto w systemie wynosiła 0.
Wyprowadzenie można rozpocząć od stwierdzeniafanetto = ma = 0.
miw tym przypadku jest to masa całego układu. Omawiane przyspieszenie to przyspieszenie netto systemu, które odnosi się do przyspieszenia środka masy układu (środek masy jest średnią lokalizacją całego układu) masa.)
Aby siła wypadkowa wynosiła 0, przyspieszenie musi również wynosić 0. Ponieważ przyspieszenie jest zmianą prędkości w czasie, oznacza to, że prędkość nie może się zmieniać. Innymi słowy, prędkość jest stała. Stąd otrzymujemy stwierdzenie, żemvcm= stała.
Gdzievcmto prędkość środka masy, wyrażona wzorem:
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
Więc teraz stwierdzenie sprowadza się do:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \text{stała}
To równanie opisuje zachowanie pędu. Każdy wyraz jest pędem jednego z obiektów w układzie, a suma wszystkich pędów musi być stała. Innym sposobem wyrażenia tego jest stwierdzenie:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
Gdzie indeks dolnyjaodnosi się do wartości początkowych ifado wartości końcowych, zwykle występujących przed, a następnie po jakiejś interakcji, takiej jak kolizja między obiektami w systemie.
Zderzenia sprężyste i nieelastyczne
Powodem, dla którego prawo zachowania pędu jest ważne, jest to, że pozwala ono rozwiązać nieznana prędkość końcowa lub podobne dla obiektów w izolowanym układzie, które mogą się ze sobą zderzać inny.
Istnieją dwa główne sposoby, w jakie taka kolizja może wystąpić: elastycznie lub nieelastycznie.
Zderzenie idealnie sprężyste to takie, w którym zderzające się obiekty odbijają się od siebie. Ten typ zderzenia charakteryzuje się zachowaniem energii kinetycznej. Energia kinetyczna obiektu dana jest wzorem:
KE = \frac{1}{2}mv^2
Jeśli energia kinetyczna jest zachowana, to suma energii kinetycznych wszystkich obiektów w układzie musi pozostać stała zarówno przed, jak i po zderzeniu. Wykorzystanie zasady zachowania energii kinetycznej wraz z zasadą zachowania pędu pozwala obliczyć więcej niż jedną prędkość końcową lub początkową w zderzającym się układzie.
Zderzenie doskonale nieelastyczne to takie, w którym zderzają się dwa obiekty, sklejają się ze sobą, a następnie poruszają się jako pojedyncza masa. To również może uprościć problem, ponieważ wystarczy określić tylko jedną prędkość końcową zamiast dwóch.
Podczas gdy pęd jest zachowywany w obu typach zderzeń, energia kinetyczna jest zachowywana tylko w zderzeniu sprężystym. Większość rzeczywistych kolizji nie jest ani idealnie sprężysta, ani doskonale nieelastyczna, ale leżą gdzieś pośrodku.
Zachowanie pędu kątowego
To, co zostało opisane w poprzednim rozdziale, to zachowanie pędu liniowego. Istnieje inny rodzaj pędu, który odnosi się do ruchu obrotowego, który nazywa się momentem pędu.
Podobnie jak w przypadku pędu liniowego, również moment pędu jest zachowywany. Moment pędu zależy od masy obiektu, a także od odległości tej masy od osi obrotu.
Gdy łyżwiarz figurowy się kręci, zobaczysz, jak obraca się szybciej, gdy zbliża ramiona do ciała. Dzieje się tak, ponieważ ich moment pędu jest zachowany tylko wtedy, gdy ich prędkość obrotowa wzrasta proporcjonalnie do tego, jak blisko zbliżają ramiona do środka.
Przykłady problemów z zachowaniem pędu
Przykład 1:Dwie kule bilardowe o równej masie toczą się ku sobie. Jeden porusza się z prędkością początkową 2 m/s, a drugi z prędkością 4 m/s. Jeśli ich zderzenie jest idealnie sprężyste, jaka jest końcowa prędkość każdej piłki?
Rozwiązanie 1:Przy rozwiązywaniu tego problemu ważny jest wybór układu współrzędnych. Ponieważ wszystko dzieje się w linii prostej, możesz zdecydować, że ruch w prawo jest dodatni, a ruch w lewo jest ujemny. Załóżmy, że pierwsza piłka leci w prawo z prędkością 2m/s. Prędkość drugiej kuli wynosi wtedy -4m/s.
Napisz wyrażenie na całkowity pęd układu przed zderzeniem oraz całkowitą energię kinetyczną układu przed zderzeniem:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
Wprowadź wartości, aby uzyskać wyrażenie dla każdego z nich:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
Zauważ, że ponieważ nie podano wartości mas, pozostają one nieznane, chociaż obie masy były takie same, co pozwoliło na pewne uproszczenie.
Po zderzeniu wyrażenia na pęd i energię kinetyczną to:
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
Ustawiając początkowe wartości równe wartościom końcowym każdego z nich, można zlikwidować masy. Pozostaje ci wtedy układ dwóch równań i dwóch nieznanych wielkości:
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \implikuje v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 }mv_{2f}^2 = 10m \implikuje v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20
Rozwiązanie układu algebraicznie daje następujące rozwiązania:
v_{if} = -4 \text{ m/s} v_{2f} = 2 \text{ m/s}
Zauważysz, że ponieważ obie kule miały tę samą masę, zasadniczo wymieniały prędkości.
Przykład 2:1200-kilogramowy samochód jadący na wschód z prędkością 20 mil na godzinę zderza się czołowo z ważącą 3000 kg ciężarówką jadącą na zachód z prędkością 15 mil na godzinę. Oba pojazdy sklejają się, kiedy się zderzają. Z jaką końcową prędkością się poruszają?
Rozwiązanie 2:Jedną rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę w tym konkretnym problemie, są jednostki. Jednostki SI dla pędu to kg⋅m/s. Dostajesz jednak masę w kg i prędkość w milach na godzinę. Zauważ, że dopóki wszystkie prędkości są w stałych jednostkach, nie ma potrzeby konwersji. Kiedy rozwiążesz ostateczną prędkość, twoja odpowiedź będzie w milach na godzinę.
Początkowy pęd układu można wyrazić jako:
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = 1200 \times 20 - 3000 \times 15 = -21 000 \text{ kg}\times\text{mph}
Ostateczny pęd układu można wyrazić jako:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Prawo zachowania pędu mówi, że te wartości początkowe i końcowe powinny być sobie równe. Możesz obliczyć prędkość końcową, ustawiając pęd początkowy równy pędowi końcowemu, rozwiązując prędkość końcową w następujący sposób:
4200v_f = -21 000 \implikuje v_f = \frac{-21000}{4200} = -5 \text{ mph}
Przykład 3:Pokaż, że energia kinetyczna nie została zachowana w poprzednim pytaniu dotyczącym niesprężystego zderzenia samochodu z ciężarówką.
Rozwiązanie 3:Początkowa energia kinetyczna tego układu wynosiła:
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557,500 \text{ kg (mph)}^2
Końcowa energia kinetyczna układu wynosiła:
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52500 \text{ kg (mph)}^2
Ponieważ początkowa całkowita energia kinetyczna i całkowita końcowa energia kinetyczna nie są równe, można wywnioskować, że energia kinetyczna nie została zachowana.
