Litera E może mieć dwa różne znaczenia w matematyce, w zależności od tego, czy jest to duże E, czy małe e. Zwykle widzisz wielkie E na kalkulatorze, co oznacza podniesienie liczby następującej po niej do potęgi 10. Na przykład 1E6 oznaczałoby 1 × 106lub 1 milion. Zwykle użycie E jest zarezerwowane dla liczb, które byłyby zbyt długie, aby wyświetlić je na ekranie kalkulatora, gdyby były pisane odręcznie.
Matematycy używają małej litery e w znacznie ciekawszym celu – do oznaczenia liczby Eulera. Ta liczba, podobnie jak π, jest liczbą niewymierną, ponieważ ma jednorazowy dziesiętny, który rozciąga się do nieskończoności. Podobnie jak irracjonalna osoba, irracjonalna liczba wydaje się nie mieć sensu, ale liczba, którą oznacza e, nie musi mieć sensu, aby była użyteczna. W rzeczywistości jest to jedna z najbardziej przydatnych liczb w matematyce.
E w notacji naukowej i znaczenie 1E6
Nie potrzebujesz kalkulatora, aby użyć E do wyrażenia liczby w notacji naukowej. Możesz po prostu pozwolić E oznaczać pierwiastek podstawy wykładnika, ale tylko wtedy, gdy podstawa wynosi 10. Nie używałbyś E do oznaczania podstawy 8, 4 lub jakiejkolwiek innej podstawy, zwłaszcza jeśli podstawą jest liczba Eulera, e.
Kiedy używasz E w ten sposób, piszesz liczbęxmitak, gdziexjest pierwszym zbiorem liczb całkowitych w liczbie itakjest wykładnikiem. Na przykład wpiszesz liczbę 1 milion jako 1E6. W zwykłej notacji naukowej jest to 1 × 106lub 1, po którym następuje 6 zer. Podobnie 5 milionów to 5E6, a 42 732 to 4,27E4. Pisząc liczbę w notacji naukowej, niezależnie od tego, czy używasz E, czy nie, zwykle zaokrąglasz do dwóch miejsc po przecinku.
Skąd bierze się liczba Eulera, e?
Liczba reprezentowana przez e została odkryta przez matematyka Leonarda Eulera jako rozwiązanie problemu postawionego przez innego matematyka, Jacoba Bernoulliego, 50 lat wcześniej. Problem Bernoulliego miał charakter finansowy.
Załóżmy, że umieściłeś 1000 dolarów w banku, który płaci 100% rocznych odsetek składanych i zostawiasz je tam na rok. Będziesz miał 2000 dolarów. Załóżmy teraz, że oprocentowanie jest o połowę niższe, ale bank płaci je dwa razy w roku. Pod koniec roku miałbyś 2250 dolarów. Załóżmy teraz, że bank zapłacił tylko 8,33%, czyli 1/12 100%, ale płacił 12 razy w roku. Pod koniec roku miałbyś 2613 dolarów. Ogólne równanie tego progresji to:
\bigg (1 +\frac{r}{n}\bigg)^n
gdzierwynosi 1, a n to okres płatności.
Okazuje się, że gdy n zbliża się do nieskończoności, wynik zbliża się coraz bardziej do e, czyli 2,7182818284 do 10 miejsc po przecinku. Tak odkrył to Euler. Maksymalny zwrot, jaki możesz uzyskać z inwestycji w wysokości 1000 USD w ciągu jednego roku, wyniósłby 2718 USD.
Liczba Eulera w przyrodzie
Wykładniki z e jako podstawą są znane jako wykładniki naturalne i oto powód. Jeśli wykreślisz wykres
y = e^x
otrzymasz krzywą, która rośnie wykładniczo, tak jak gdybyś wykreślił krzywą o podstawie 10 lub dowolnej innej liczbie. Jednak krzywatak= exma dwie specjalne właściwości. Dla dowolnej wartościx, wartośćtakrówna się wartości nachylenia wykresu w tym punkcie, a także równa się powierzchni pod krzywą do tego punktu. To sprawia, że e jest szczególnie ważną liczbą w rachunku różniczkowym i we wszystkich dziedzinach nauki, które go używają.
Spirala logarytmiczna reprezentowana przez równanie
r = ae^{bθ}
występuje w całej naturze, w muszlach, skamielinach i kwiatach. Ponadto pojawia się w wielu kontekstach naukowych, m.in. w badaniach obwodów elektrycznych, praw nagrzewania i chłodzenia oraz tłumienia sprężyn. Mimo że została odkryta 350 lat temu, naukowcy wciąż znajdują nowe przykłady liczby Eulera w przyrodzie.