Niezależnie od tego, czy jest to łyżwiarka ciągnąca jej ramiona i obracająca się szybciej, jak ona, czy kot kontrolujący szybkość wirowania podczas upadku, aby upewnić się, że wyląduje na nogach, pojęcie momentu bezwładności ma kluczowe znaczenie dla fizyki ruchu obrotowego ruch.
Inaczej znany jako bezwładność obrotowa, moment bezwładności jest obrotowym analogiem masy w drugie z praw dynamiki Newtona, opisujące tendencję obiektu do opierania się przyspieszeniu kątowemu.
Koncepcja może na pierwszy rzut oka nie wydawać się zbyt interesująca, ale w połączeniu z prawem zachowania kąta pędu, może służyć do opisu wielu fascynujących zjawisk fizycznych i przewidywania ruchu w szerokim zakresie sytuacje.
Definicja momentu bezwładności
Moment bezwładności obiektu opisuje jego opór na przyspieszenie kątowe, uwzględniając rozkład masy wokół jego osi obrotu.
Zasadniczo określa ilościowo, jak trudno jest zmienić prędkość obrotu obiektu, niezależnie od tego, czy oznacza to rozpoczęcie jego obrotu, zatrzymanie go, czy zmianę prędkości już obracającego się obiektu.
Czasami nazywa się ją bezwładnością obrotową i warto ją traktować jako analogię masy w drugim prawie Newtona:fanetto = mama. Tutaj masa obiektu jest często nazywana masą bezwładną i opisuje opór obiektu wobec ruchu (liniowego). Bezwładność obrotowa działa tak samo dla ruchu obrotowego, a definicja matematyczna zawsze uwzględnia masę.
Równoważne wyrażenie do drugiej zasady ruchu obrotowego dotyczymoment obrotowy (τ, obrotowa analogia siły) do przyspieszenia kątowegoαi moment bezwładnościja:
\tau =I\alfa
Ten sam obiekt może jednak mieć wiele momentów bezwładności, ponieważ duża część definicji dotyczy rozkładu masy, ale uwzględnia również położenie osi obrotu.
Na przykład, podczas gdy moment bezwładności dla pręta obracającego się wokół jego środka wynosija = ML2/12 (gdzieMjest masa iLto długość pręta), ten sam pręt obracający się wokół jednego końca ma moment bezwładności określony przezja = ML2/3.
Równania na moment bezwładności
Zatem moment bezwładności ciała zależy od jego masyM, jego promieńRi jego oś obrotu.
W niektórych przypadkach,Rokreśla się jakore, dla odległości od osi obrotu, a w innych (tak jak w przypadku drążka w poprzednim punkcie) zastępuje go długość,L. Symboljajest używany jako moment bezwładności i ma jednostki kg m2.
Jak można się spodziewać na podstawie tego, czego się do tej pory nauczyłeś, istnieje wiele różnych równań na moment bezwładności, a każde z nich odnosi się do określonego kształtu i określonej osi obrotu. We wszystkich momentach bezwładności terminPAN2 pojawia się, chociaż dla różnych kształtów przed tym terminem znajdują się różne ułamki, aw niektórych przypadkach może być zsumowanych wiele terminów.
PAN2 składnik to moment bezwładności dla masy punktowej w odległościRod osi obrotu, a równanie dla określonej bryły sztywnej jest budowane jako suma mas punktowych lub przez całkowanie nieskończonej liczby małych mas punktowych na obiekcie.
Chociaż w niektórych przypadkach może być przydatne wyprowadzenie momentu bezwładności obiektu na podstawie prostej sumy arytmetycznej mas punktowych lub przez integrując, w praktyce istnieje wiele wyników dla typowych kształtów i osi obrotu, których można po prostu użyć bez konieczności ich wyprowadzania pierwszy:
Cylinder pełny (oś symetrii):
I = \frac{1}{2} MR^2
Pełny walec (oś środkowa średnicy lub średnica przekroju kołowego w środku walca):
I = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
Kula pełna (oś środkowa):
I = \frac{2}{5}MR^2
Cienka kulista powłoka (oś środkowa):
I = \frac{2}{3} MR^2
Obręcz (oś symetrii, czyli prostopadle przez środek):
I = MR^2
Obręcz (oś średnicy, tj. w poprzek średnicy koła utworzonego przez obręcz):
I = \frac{1}{2} MR^2
Pręt (oś środkowa, prostopadła do długości pręta):
I = \frac{1}{12}ML^2
Pręt (obracający się wokół końca):
I = \frac{1}{3} ML^2
Bezwładność obrotowa i oś obrotu
Zrozumienie, dlaczego istnieją różne równania dla każdej osi obrotu, jest kluczowym krokiem do zrozumienia pojęcia momentu bezwładności.
Pomyśl o ołówku: możesz go obracać, obracając go w środku, na końcu lub obracając wokół centralnej osi. Ponieważ bezwładność obrotowa obiektu zależy od rozkładu masy wokół osi obrotu, każda z tych sytuacji jest inna i do jej opisania wymaga osobnego równania.
Możesz instynktownie zrozumieć pojęcie momentu bezwładności, jeśli przeskalujesz ten sam argument do 30-metrowego masztu flagowego.
Przekręcenie go z końca do końca byłoby bardzo trudne – jeśli w ogóle dałbyś radę – podczas gdy kręcenie kijem wokół jego środkowej osi byłoby znacznie łatwiejsze. Dzieje się tak, ponieważ moment obrotowy silnie zależy od odległości od osi obrotu, a w 30-stopowym Przykład masztu flagowego, obracanie go końcem nad końcem wymaga każdego skrajnego końca oddalonego o 15 stóp od osi obrót.
Jeśli jednak obrócisz go wokół osi środkowej, wszystko jest dość blisko osi. Sytuacja przypomina noszenie ciężkiego przedmiotu na wyciągnięcie ręki vs. trzymanie go blisko ciała lub operowanie dźwignią od końca vs. blisko punktu podparcia.
Dlatego do opisania momentu bezwładności tego samego obiektu w zależności od osi obrotu potrzebne jest inne równanie. Wybrana oś wpływa na odległość części ciała od osi obrotu, nawet jeśli masa ciała pozostaje taka sama.
Korzystanie z równań dla momentu bezwładności
Kluczem do obliczenia momentu bezwładności bryły sztywnej jest nauczenie się używania i stosowania odpowiednich równań.
Rozważmy ołówek z poprzedniej części, kręcony koniec nad końcem wokół centralnego punktu wzdłuż jego długości. Chociaż to nie jestidealnypręt (na przykład spiczasta końcówka łamie ten kształt) można go modelować jako taki, aby nie musiał przechodzić przez pełny moment bezwładności dla obiektu.
Więc modelując obiekt jako pręt, użyjesz następującego równania, aby znaleźć moment bezwładności w połączeniu z całkowitą masą i długością ołówka:
I = \frac{1}{12}ML^2
Większym wyzwaniem jest znalezienie momentu bezwładności dla obiektów złożonych.
Rozważmy na przykład dwie kule połączone ze sobą prętem (które potraktujemy jako bezmasowe, aby uprościć problem). Kula pierwsza ma masę 2 kg i znajduje się w odległości 2 m od osi obrotu, a kula druga ma masę 5 kg i znajduje się w odległości 3 m od osi obrotu.
W tym przypadku możesz znaleźć moment bezwładności dla tego złożonego obiektu, uznając każdą kulę za masę punktową i działając z podstawowej definicji, że:
\begin{wyrównane} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{wyrównane}
Z indeksami dolnymi po prostu rozróżniającymi różne obiekty (tj. Kula 1 i kula 2). Obiekt z dwiema kulami miałby wtedy:
\begin{wyrównany} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg m}^2 \end{wyrównany}
Moment bezwładności i zachowanie pędu kątowego
Moment pędu (obrotowy odpowiednik pędu liniowego) definiuje się jako iloczyn bezwładności ruchu obrotowego (tj. momentu bezwładności,ja) obiektu i jego prędkości kątowejω), który jest mierzony w stopniach/s lub rad/s.
Bez wątpienia znasz prawo zachowania liniowego momentu pędu, a moment pędu jest również zachowywany w ten sam sposób. Równanie momentu pęduL) jest:
L = Iω
Myślenie o tym, co to oznacza w praktyce, wyjaśnia wiele zjawisk fizycznych, ponieważ (przy braku innych sił) im większa bezwładność obrotowa obiektu, tym mniejsza jego prędkość kątowa.
Rozważmy łyżwiarza kręcącego się ze stałą prędkością kątową z wyciągniętymi rękami i zauważ, że jego wyciągnięte ramiona zwiększają promieńRwokół której rozkłada się jego masa, co prowadzi do większego momentu bezwładności, niż gdyby jego ramiona były blisko ciała.
GdybyL1 jest obliczony z rozpostartymi ramionami iL2, po wciągnięciu ramion musi mieć taką samą wartość (ponieważ moment pędu jest zachowany), co się stanie, jeśli zmniejszy swój moment bezwładności poprzez wciągnięcie ramion? Jego prędkość kątowaωwzrasta, aby zrekompensować.
Koty wykonują podobne ruchy, aby pomóc im wylądować na nogach podczas upadku.
Wyciągając nogi i ogon, zwiększają moment bezwładności i zmniejszają prędkość obrotu, i odwrotnie, mogą wciągać nogi, aby zmniejszyć moment bezwładności i zwiększyć prędkość obrotową. Wykorzystują te dwie strategie – wraz z innymi aspektami „odruchu prostującego” – aby upewnić się, że ich stopy lądują po pierwsze, a na zdjęciach poklatkowych kota widać wyraźne fazy zwijania się i rozciągania lądowanie.
Moment bezwładności i obrotowa energia kinetyczna
Kontynuując paralele między ruchem liniowym a ruchem obrotowym, obiekty mają również obrotową energię kinetyczną w taki sam sposób, w jaki mają liniową energię kinetyczną.
Pomyśl o piłce toczącej się po ziemi, zarówno obracającej się wokół swojej osi środkowej, jak i poruszającej się do przodu w sposób liniowy: całkowita energia kinetyczna piłki jest sumą jej liniowej energii kinetycznejmik i jego obrotowa energia kinetycznamignić. Paralele między tymi dwiema energiami znajdują odzwierciedlenie w równaniach dla obu, pamiętając, że obiekt moment bezwładności jest obrotowym analogiem masy, a jego prędkość kątowa jest obrotowym analogiem liniowej prędkośćv):
E_k = \frac{1}{2}mv^2
E_{rot} = \frac{1}{2}Iω^2
Widać wyraźnie, że oba równania mają dokładnie taką samą postać, z odpowiednimi analogami rotacyjnymi podstawionymi za równanie energii kinetycznej ruchu obrotowego.
Oczywiście, aby obliczyć obrotową energię kinetyczną, będziesz musiał podstawić odpowiednie wyrażenie dla momentu bezwładności obiektu w przestrzeń dlaja. Biorąc pod uwagę kulę i modelując obiekt jako bryłę kuli, równanie jest w tym przypadku:
\begin{aligned} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ω^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ω^2 \end{wyrównany}
Całkowita energia kinetyczna (mibrzdąc) jest sumą tego i energii kinetycznej piłki, więc możesz napisać:
\begin{aligned} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ω^2 \end{ wyrównane}
Dla kuli o masie 1 kg poruszającej się z prędkością liniową 2 m/s, o promieniu 0,3 m i prędkości kątowej 2π rad/s, całkowita energia wynosiłaby:
\begin{wyrównane} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\text{kg} × (0,3 \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0,71 \;\text{J} \\ & = 2.71 \;\text{J} \end{wyrównany}
W zależności od sytuacji obiekt może posiadać jedynie liniową energię kinetyczną (na przykład piłka upuszczona z wysokość bez nadanego jej wirowania) lub tylko obrotową energię kinetyczną (piłka wirująca, ale pozostająca w miejscu).
Pamiętaj, że tak jestcałkowityenergia, która jest zachowana. Jeśli piłka zostanie kopnięta w ścianę bez początkowej rotacji i odbije się z mniejszą prędkością, ale z nadaną rotacją, jak również energię tracona na dźwięk i ciepło w momencie kontaktu, część początkowej energii kinetycznej została przeniesiona na obrotową energię kinetyczną, a więcżargonprawdopodobnie poruszaj się tak szybko, jak to robiło, zanim odbije się z powrotem.