Dodaj wartości trzech kątów w dowolnym trójkącie, a otrzymasz 180 stopni. Jeśli masz trójkąt prostokątny, jeden z jego kątów z definicji ma 90 stopni. Oznacza to, że suma pozostałych dwóch kątów musi wynosić 90 stopni, a jeśli znasz jeden z nich, możesz natychmiast znaleźć drugi. Ale jak znaleźć kąty, jeśli też nie znasz? Odpowiedzią jest poleganie na innej ważnej właściwości trójkąta, długości jego boków. Są one związane z wielkością kątów.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Znajdź kąty w trójkącie prostokątnym, obliczając ich sinus, cosinus lub tangens, które są funkcjami długości boków trójkąta.
Sinus, cosinus i tangens
Kiedy wybierasz, który z dwóch kątów (ø) w trójkącie prostokątnym chcesz znaleźć, ustalasz w stosunku do niego trzy boki. Linia dotykająca kąta i rozciągająca się do kąta 90 stopni nazywana jestsąsiadującybok, podczas gdy strona przeciwna do kąta tonaprzeciwkobok.przeciwprostokątnajest zawsze stroną przeciwną do kąta prostego. W oparciu o te definicje matematycy stosują trzy proporcje, które definiują kąt w kategoriach długości boków:
Sinus (grzech)to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:
\sin ø = \frac{\text{przeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}}
Cosinus (cos)stosunek sąsiedniej strony do przeciwprostokątnej:
\cos ø = \frac{\text{sąsiadujący}}{\text{hipoprostokąt}}
Styczna (tan)to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej:
\tan ø = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{sąsiadujący}}
Każdy stosunek każdej pary linii odpowiada określonemu kątowi, a te stosunki są zestawiane wraz z kątami, które definiują. Jeśli możesz zmierzyć długości co najmniej dwóch boków trójkąta prostokątnego, wystarczy obliczyć sinus, cosinus lub tangens kąta i sprawdzić go w tabeli.
Drabina przy ścianie
Jednym z najbardziej znanych praktycznych zastosowań tych zasad jest drabina oparta o pionową ścianę. Ogromne znaczenie mają wielkości kątów, jakie drabina tworzy z podłożem i ścianą. Jeśli kąt do ściany jest zbyt mały, drabina spadnie do tyłu, a jeśli kąt na ziemi jest zbyt mały, drabina ześlizgnie się. Ponieważ kąt między ścianą a ziemią wynosi 90 stopni, możesz obliczyć dwa kąty, jakie tworzy drabina, używając sinusa, cosinusa lub stycznej, dzięki czemu możesz zapobiec wypadkowi.
Drabina tworzy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.
Ta odległość to sąsiednia strona przy określaniu kąta, jaki drabina tworzy z podłożem.
Użyj tabel cosinusów, aby znaleźć kąt, jaki drabina tworzy z podłożem. Oblicz stosunek sąsiedniego boku do przeciwprostokątnej, a następnie wyszukaj ten stosunek w tabeli cosinusów, aby znaleźć odpowiedni kąt.
Oblicz kąt, jaki drabina tworzy ze ścianą, odejmując kąt, który właśnie znalazłeś, od 90. Alternatywnie możesz znaleźć wartość tego kąta za pomocą tabeli sinusów.
Przykład
Drabina o długości 20 stóp opiera się o bok domu, a odległość od podstawy drabiny do fundamentu wynosi 12 stóp. Jakie kąty tworzy drabina z ziemią i domem?
Oblicz cosinus kąta, jaki drabina tworzy z podłożem. Jego
\frac{12}{20} = 0,6
Używając tabeli cosinusów (lub kalkulatora naukowego), odkryjesz, że kąt wynosi prawie dokładnie 53 stopnie. To sprawia, że drabina jest pod kątem do ściany
90 - 53 = 36 \text{ stopni}
Wskazówki
Jeśli używasz kalkulatora i znasz cosinus kąta, naciśnij cos-1 klucz, aby znaleźć kąt. To samo dotyczy sinusa i tangensa.