Czasami jedynym sposobem, aby przejść przez obliczenia matematyczne, jest brutalna siła. Ale od czasu do czasu możesz zaoszczędzić dużo pracy, rozpoznając specjalne problemy, które możesz rozwiązać za pomocą znormalizowanej formuły. Znalezienie sumy sześcianów i znalezienie różnicy sześcianów to dwa przykłady dokładnie tego: Gdy znasz formuły na faktoringza3 + b3 lubza3 - b3, znalezienie odpowiedzi jest tak proste, jak zastąpienie wartości a i b poprawną formułą.
Umieszczanie tego w kontekście
Najpierw pokrótce przyjrzyj się, dlaczego możesz chcieć znaleźć – lub bardziej odpowiednio „czynnik” – sumy lub różnice między kostkami. Kiedy pojęcie jest wprowadzane po raz pierwszy, jest to prosty problem matematyczny sam w sobie. Ale jeśli będziesz dalej uczyć się matematyki, później stanie się to krokiem pośrednim w bardziej złożonych obliczeniach. Więc jeśli dostanieszza3 + b3 lubza3 − b3 jako odpowiedź podczas innych obliczeń, możesz wykorzystać umiejętności, których się nauczysz, aby rozbić te sześciany rozłożone na prostsze elementy, co często ułatwia dalsze rozwiązywanie oryginału problem.
Faktorowanie sumy kostek
Wyobraź sobie, że dotarłeś do dwumianu
x^3 + 27
i są proszeni o uproszczenie tego. Pierwszy termin,x3, jest oczywiście liczbą sześcienną. Po krótkim badaniu można zauważyć, że druga liczba jest w rzeczywistości również sześcianem: 27 to to samo co 33. Teraz, gdy wiesz, że obie liczby są sześcianami, możesz zastosować wzór na sumę sześcianów.
Zapisz obie liczby w formie sześcianów, jeśli tak nie jest. Aby kontynuować ten przykład, musisz mieć:
x^3 + 27 = x^3 + 3^3
Gdy już przyzwyczaisz się do tego procesu, możesz pominąć ten krok i przejść od razu do wpisania wartości z kroku 1 do formuły. Ale zwłaszcza gdy się uczysz, najlepiej iść krok po kroku i przypomnieć sobie wzór:
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
Porównaj lewą stronę tego równania z wynikiem z kroku 1. Pamiętaj, że możesz zastąpić canxzamiastza,i 3 w miejsceb.
Zastąp wartości z kroku 1 formułą w kroku 2. Więc masz:
x^3 + 3^3 = (x + 3) (x^2 - 3x + 3^2)
Na razie dotarcie do prawej strony równania stanowi twoją odpowiedź. Jest to wynik rozłożenia na czynniki sumy dwóch liczb sześciennych.
Faktoryzacja różnicy kostek
Rozkładanie różnicy dwóch liczb sześciennych działa w ten sam sposób. W rzeczywistości formuła jest prawie identyczna z formułą sumy kostek. Ale jest jedna zasadnicza różnica: zwróć szczególną uwagę na to, gdzie znajduje się znak minus.
Wyobraź sobie, że masz problem
r^3 - 125
i muszę to uwzględnić. Jak wcześniej,tak3 to oczywista kostka i przy odrobinie zastanowienia powinieneś być w stanie rozpoznać, że 125 to w rzeczywistości 53. Więc masz:
y^3 - 125 = y^3 - 5^3
Tak jak poprzednio, wypisz wzór na różnicę kostek. Zauważ, że możesz zastąpić cantakdlazai 5 zabi zwróć szczególną uwagę na to, gdzie znajduje się znak minus w tej formule. Umiejscowienie znaku minus jest jedyną różnicą między tą formułą a formułą na sumę kostek.
a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
Napisz wzór ponownie, tym razem zastępując wartości z kroku 1. Daje to:
y^3 - 5^3 = (y - 5)(y^2 + 5y + 5^2)
Ponownie, jeśli wszystko, co musisz zrobić, to rozłożyć na czynniki różnicę kostek, to jest twoja odpowiedź.