Kiedy zaczniesz robić trygonometrię i rachunek różniczkowy, możesz natknąć się na wyrażenia takie jak grzech (2θ), gdzie zostaniesz poproszony o znalezienie wartościθ. Gra prób i błędów z wykresami lub kalkulatorem w celu znalezienia odpowiedzi może wahać się od przeciągającego się koszmaru do całkowicie niemożliwego. Na szczęście tożsamości podwójnego kąta są tutaj, aby pomóc. Są to specjalne przypadki tak zwanej formuły złożonej, która łamie funkcje form (ZA + b) lub (ZA – b) w dół do funkcji sprawiedliwychZAib.
Tożsamości podwójnego kąta dla sinusa
Istnieją trzy tożsamości podwójnego kąta, po jednej dla funkcji sinus, cosinus i tangens. Ale tożsamości sinus i cosinus można zapisać na wiele sposobów. Oto dwa sposoby zapisania tożsamości podwójnego kąta dla funkcji sinus:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
Tożsamości podwójnego kąta dla cosinusa
Istnieje jeszcze więcej sposobów na zapisanie tożsamości podwójnego kąta dla cosinusa:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
Tożsamość podwójnego kąta dla stycznej
Na szczęście istnieje tylko jeden sposób zapisania tożsamości podwójnego kąta dla funkcji tangens:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
Korzystanie z tożsamości podwójnego kąta
Wyobraź sobie, że masz do czynienia z trójkątem prostokątnym, w którym znasz długość jego boków, ale nie znasz miary jego kątów. Poproszono Cię o znalezienieθ, gdzieθjest jednym z kątów trójkąta. Jeśli przeciwprostokątna trójkąta mierzy 10 jednostek, bok sąsiadujący z twoim kątem mierzy 6 jednostek a strona przeciwna do kąta mierzy 8 jednostek, nie ma znaczenia, że nie znasz miaryθ; możesz wykorzystać swoją wiedzę o sinusach i cosinusach, a także jedną z formuł z podwójnym kątem, aby znaleźć odpowiedź.
Po wybraniu kąta można zdefiniować sinus jako stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej, a cosinus jako stosunek sąsiedniego boku do przeciwprostokątnej. Tak więc w podanym przykładzie masz:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Znajdziesz te dwa wyrażenia, ponieważ są one najważniejszymi elementami składowymi formuł z podwójnym kątem.
Ponieważ do wyboru jest tak wiele formuł z podwójnym kątem, możesz wybrać tę, która wygląda na łatwiejszą do obliczenia i zwraca typ potrzebnych informacji. W tym przypadku, ponieważ znasz grzechθi cosθjuż jasne jest, że najwygodniejszym wyrażeniem jest:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
Znasz już wartości sinθ i cosθ, więc podstaw je do równania:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
Po uproszczeniu będziesz mieć:
\sin (2θ) = \frac{96}{100}
Większość wykresów trygonometrycznych jest podawana w postaci dziesiętnej, więc następnie przeprowadź dzielenie reprezentowane przez ułamek, aby przekonwertować go na postać dziesiętną. Teraz masz:
\sin (2θ) = 0,96
Na koniec znajdź odwrotny sinus lub arcus sinus 0,96, który jest zapisany jako sin −1(0.96). Innymi słowy, użyj kalkulatora lub wykresu, aby przybliżyć kąt, który ma sinus 0,96. Jak się okazuje, to prawie dokładnie 73,7 stopnia. Więc 2θ= 73,7 stopnia.
Podziel każdą stronę równania przez 2. To daje:
θ = 36,85 \text{ stopni}