Pierwiastki kwadratowe często występują w problemach matematycznych i przyrodniczych, a każdy uczeń musi poznać podstawy pierwiastków kwadratowych, aby rozwiązać te pytania. Pierwiastki kwadratowe pytają „jaka liczba po pomnożeniu przez siebie daje następujący wynik” i jako takie ich obliczenie wymaga myślenia o liczbach w nieco inny sposób. Możesz jednak łatwo zrozumieć zasady pierwiastków kwadratowych i odpowiedzieć na wszelkie pytania z nimi związane, czy wymagają bezpośredniego obliczenia, czy tylko uproszczenia.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Pierwiastek kwadratowy pyta, która liczba po pomnożeniu przez siebie daje wynik po symbolu √. Zatem √9 = 3 i √16 = 4. Technicznie każdy korzeń ma pozytywną i negatywną odpowiedź, ale w większości przypadków pozytywna odpowiedź to ta, która Cię zainteresuje.
Pierwiastki kwadratowe można rozkładać na czynniki jak zwykłe liczby, więc √√ab = √za √blub √6 = √2√3.
Co to jest pierwiastek kwadratowy?
Pierwiastki kwadratowe są przeciwieństwem „podnoszenia do kwadratu” liczby lub mnożenia jej przez samą siebie. Na przykład trzy do kwadratu to dziewięć (3
2 = 9), więc pierwiastek kwadratowy z dziewięciu wynosi trzy. W symbolach jest to\sqrt{9} = 3
Symbol „√” mówi, że należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby, co można znaleźć w większości kalkulatorów.
Pamiętaj, że każda liczba faktycznie madwapierwiastki kwadratowe. Trzy pomnożone przez trzy równa się dziewięć, ale minus trzy pomnożone przez minus trzy również daje dziewięć, więc
3^2 = (-3)^2 = 9 \text{ i } \sqrt{9} = ±3
gdzie ± oznacza „plus lub minus”. W wielu przypadkach możesz zignorować ujemne pierwiastki kwadratowe liczb, ale czasami ważne jest, aby pamiętać, że każda liczba ma dwa pierwiastki.
Możesz zostać poproszony o wzięcie „pierwiastka sześciennego” lub „czwartego pierwiastka” liczby. Pierwiastek sześcienny to liczba, która po dwukrotnym pomnożeniu przez siebie równa się liczbie oryginalnej. Czwarty pierwiastek to liczba, która po trzykrotnym pomnożeniu przez siebie równa się liczbie pierwotnej. Podobnie jak pierwiastki kwadratowe, są one przeciwieństwem potęgi liczb. Więc 33 = 27, co oznacza, że pierwiastek sześcienny z 27 wynosi 3, lub
\sqrt[3]{27} = 3
Symbol „∛” reprezentuje pierwiastek sześcienny liczby, która następuje po nim. Korzenie są czasami wyrażane również jako potęgi ułamkowe, więc
\sqrt{x} = x^{1/2} \text{ i } \sqrt[3]{x} = x^{1/3}
Uproszczenie pierwiastków kwadratowych
Jednym z najtrudniejszych zadań, które możesz wykonać z pierwiastkami kwadratowymi, jest uproszczenie dużych pierwiastków kwadratowych, ale wystarczy przestrzegać kilku prostych zasad, aby rozwiązać te pytania. Pierwiastki kwadratowe można rozkładać na czynniki w taki sam sposób, jak rozkłada się zwykłe liczby. Na przykład 6 = 2 × 3, więc
\sqrt{6} = \sqrt{2} × \sqrt{3}
Uproszczenie większych pierwiastków oznacza krok po kroku faktoryzację i zapamiętanie definicji pierwiastka kwadratowego. Na przykład √ 132 to duży korzeń i może być trudno zobaczyć, co robić. Jednak łatwo zauważyć, że jest podzielna przez 2, więc możesz pisać
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{66}
Jednak 66 jest również podzielne przez 2, więc możesz napisać:
\sqrt{2} \sqrt{66} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33}
W tym przypadku pierwiastek kwadratowy z liczby pomnożony przez inny pierwiastek kwadratowy daje po prostu oryginalną liczbę (z powodu definicji pierwiastka kwadratowego), więc
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33} = 2 \sqrt{33}
Krótko mówiąc, możesz uprościć pierwiastki kwadratowe, korzystając z następujących zasad
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b} \\ \sqrt{a} × \sqrt{a} = a
Jaki jest pierwiastek kwadratowy…
Korzystając z powyższych definicji i reguł, możesz znaleźć pierwiastki kwadratowe większości liczb. Oto kilka przykładów do rozważenia.
Pierwiastek kwadratowy z 8
Nie można tego znaleźć bezpośrednio, ponieważ nie jest to pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej. Jednak zastosowanie zasad uproszczenia daje:
\sqrt{8} = \sqrt{2} \sqrt{4} = 2 \sqrt{2}
Pierwiastek kwadratowy z 4
Wykorzystuje to prosty pierwiastek kwadratowy z 4, czyli √4 = 2. Problem można rozwiązać dokładnie za pomocą kalkulatora, a √8 = 2,8284...
Pierwiastek kwadratowy z 12
Stosując to samo podejście, spróbuj obliczyć pierwiastek kwadratowy z 12. Podziel korzeń na czynniki, a następnie sprawdź, czy możesz go ponownie podzielić na czynniki. Spróbuj tego jako problem praktyczny, a następnie spójrz na poniższe rozwiązanie:
\sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{6} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}
Ponownie, to uproszczone wyrażenie może być użyte w zadaniach w razie potrzeby lub dokładnie obliczone za pomocą kalkulatora. Kalkulator pokazuje, że
\sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 3,4641….
Pierwiastek kwadratowy z 20
Pierwiastek kwadratowy z 20 można znaleźć w ten sam sposób:
\sqrt{20} = \sqrt{2} \sqrt{10} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{5}=2 \sqrt{5} = 4,4721….
Pierwiastek kwadratowy z 32
Na koniec zajmij się pierwiastkiem kwadratowym z 32, stosując to samo podejście:
\sqrt{32} = \sqrt{4} \sqrt{8}
Tutaj zauważ, że już obliczyliśmy pierwiastek kwadratowy z 8 jako 2√2 i że √4 = 2, więc:
\sqrt{32} = 2×2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} = 5,657...
Pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej
Chociaż definicja pierwiastka kwadratowego oznacza, że liczby ujemne nie powinny mieć pierwiastka kwadratowego (ponieważ dowolna liczba pomnożona sama w sobie daje w rezultacie liczbę dodatnią), matematycy napotkali je w ramach problemów z algebry i opracowali rozwiązanie. Liczba „urojona”jajest używany w znaczeniu „pierwiastek kwadratowy z minus 1”, a wszelkie inne pierwiastki ujemne są wyrażane jako wielokrotnościja. Więc
\sqrt{-9} = \sqrt{9} × i = ±3i
Te problemy są trudniejsze, ale możesz nauczyć się je rozwiązywać w oparciu o definicjęjaoraz standardowe zasady dotyczące korzeni.
Przykładowe pytania i odpowiedzi
Sprawdź, czy rozumiesz pierwiastki kwadratowe, upraszczając w razie potrzeby, a następnie obliczając następujące pierwiastki:
\sqrt{50} \\ \sqrt{36} \\ \sqrt{70} \\ \sqrt{24} \\ \sqrt{27}
Spróbuj je rozwiązać, zanim spojrzysz na poniższe odpowiedzi:
\sqrt{50} = \sqrt{2} \sqrt{25} = 5 \sqrt{2} = 7,071 \\ \sqrt{36} = 6 \\ \sqrt{70} = \sqrt{7} \sqrt{ 10} = \sqrt{7} \sqrt{2} \sqrt{5} = 8,637 \\ \sqrt{24} = \sqrt{2} \sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{6} = 2 \sqrt{6} = 4,899 \\ \sqrt{27 } = \sqrt{3} \sqrt{9} = 3 \sqrt{3} = 5.196