14 marca (14 marca) to Święto Pi (nie wspominając o urodzinach Alberta Einsteina), które stało się tak ważnym wydarzeniem, że zostało oficjalnie uznane przez Izbę Reprezentantów USA w 2009 roku.
Istnieje wiele sposobów na uczczenie tej okazji, od najłatwiejszych i najzabawniejszych (pieczenie prawdziwego ciasta z symbolem π na górze) po bardziej matematyczne i interesujące. Tutaj w Science, będziemy nigdy zniechęci Cię do robienia ciasta, ale jest wiele innych wyjątkowych czynności, które możesz cieszyć się podczas pieczenia lub po zjedzeniu kawałka lub dwóch.
Chociaż ludzie wiedzieli o liczbie pi od ponad 4000 lat, uzyskiwanie coraz lepszych przybliżeń dla nieskończenie rozciągających się ułamków dziesiętnych było historycznie jednym z głównych zadań, jakie podejmowali matematycy. Oczywiście nigdy nie dotrzesz do 31 kwintylion cyfry są obecnie znane, ale możesz użyć kilku unikalnych metod, aby uzyskać dość bliskie przybliżenie do słynnej liczby.
Metoda prostokąta
To podejście jest bardziej praktyczne niż inne na tej liście, więc będziesz potrzebować kompasu i ołówka, kawałka papieru lub karty, linijki, nożyczek i kątomierza. Najpierw narysuj okrąg na swojej karcie, upewniając się, że znasz promień. Następnie podziel okrąg na 12 równych sektorów (takich jak plasterki pizzy) i wybierz jeden z nich, aby ponownie podzielić na dwie równe części, aby uzyskać łącznie 13 sektorów.
Wytnij okrąg i wytnij sektory. Zmień układ sektorów w kształt prostokąta, z prostą krawędzią mniejszych sektorów w dowolnym miejscu krótsza krawędź, a cienki koniec jednego kawałka jest równo ułożony między zakrzywionymi końcami dwóch sąsiednich sztuk. Wysokość prostokąta to promień okręgu, a szerokość to połowa obwodu pierwotnego okręgu.
Ponieważ obwód = 2 × π × promień, mamy:
\text{Szerokość} = π × \text{promień}
I możesz oszacować pi za pomocą:
π=\frac{\text{szerokość}}{\text{promień}}
Więc wszystko, co musisz zrobić, to zmierzyć długi bok prostokąta i podzielić przez promień, aby uzyskać przybliżenie liczby pi.
Aproksymacja wielokąta Archimedesa dla Pi
Archimedes zastosował prostą, ale potężną metodę przybliżania wartości pi, zasadniczo otaczając okrąg dwoma wielokątami, jednym tuż wewnątrz i jednym tuż poza linią okręgu. Obwód okręgu musi znajdować się pomiędzy obwodem tych dwóch wielokątów i na tej podstawie można obliczyć pi. Przybliżenie staje się coraz lepsze, gdy dodajesz więcej boków do wielokątów (zobacz Zasoby jako przykład).
Możesz użyć jednej z dwóch metod, aby to zrobić dla siebie. Najprościej, możesz samodzielnie narysować wielokąty i użyć trygonometrii, aby znaleźć lub dosłownie zmierzyć obwód, a następnie podzielić wynik przez 2_r_ (tj. 2 razy promień okręgu), aby znaleźć granice dla pi (z wewnętrznym kształtem dającym minimum i zewnętrznym dającym maksymalny.
Alternatywnie użyj prostego wzoru opartego na okręgu o średnicy 1 (tj. r = 1/2):
π = \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg) n
Gdzie θ jest kątem w środku jednego z trójkątnych odcinków kształtu, oraz nie to liczba boków. Więc jeśli używasz 20-bocznego wielokąta, po prostu podziel 360 ° (cały okrąg) przez 20, aby znaleźć θ.
Igła Buffona
Jedną z najbardziej pomysłowych metod szacowania liczby pi jest igła Buffona, nazwana na cześć francuskiego filozofa Georgesa-Louisa Leclerca, hrabiego de Buffona, który odkrył to podejście. Weź kartkę papieru i narysuj na niej zestaw równo rozmieszczonych równoległych linii, z odległością między nimi, którą nazwiemy re, a następnie upuść wiele patyków na kartce papieru. Kluczem do tego podejścia jest użycie patyków o długości ja to mniej niż odległość między liniami, więc jeśli używasz zapałek, upewnij się, że oddzielasz linie o więcej niż długość zapałki.
Możesz oszacować pi na podstawie:
π = \frac{2ls}{cd}
gdzie ja i re są jak zdefiniowano powyżej, s to całkowita liczba patyczków, które upuściłeś na papier, oraz do to liczba patyków, które przekraczają linię. Jest to statystyczne podejście do znajdowania odpowiedzi, więc im więcej patyków upuścisz, tym lepsze oszacowanie otrzymasz. W rzeczywistości jest to forma symulacji Monte Carlo do znajdowania wartości pi.
Jeśli wydaje się to być dużo pracy (i sprzątania!), istnieje wersja online, której możesz użyć do symulacji eksperymentu (patrz Zasoby).