Z Super Bowl tuż za rogiem, sportowcy i fani z całego świata są mocno skupieni na wielkiej grze. Ale dla _math_letes wielki mecz może przywodzić na myśl mały problem związany z możliwymi wynikami w grze w piłkę nożną. Przy ograniczonych opcjach ilości punktów, które możesz zdobyć, niektóre sumy po prostu nie mogą zostać osiągnięte, ale która jest najwyższa? Jeśli chcesz wiedzieć, co łączy monety, piłkę nożną i bryłki kurczaka McDonalda, to jest dla Ciebie problem.
Problem matematyczny Super Bowl
Problem dotyczy możliwych wyników, jakie Los Angeles Rams lub New England Patriots mogliby osiągnąć w niedzielę bez bezpieczeństwo lub dwupunktowa konwersja. Innymi słowy, dopuszczalnymi sposobami na zwiększenie ich wyników są rzuty za 3 punkty z pola i przyłożenia 7 punktów. Tak więc bez zabezpieczeń nie można osiągnąć wyniku 2 punktów w grze z dowolną kombinacją trójek i siódemek. Podobnie, nie możesz również uzyskać wyniku 4, ani nie możesz zdobyć 5.
Pytanie brzmi: Jaki jest najwyższy wynik, który żargon być osiągnięte tylko z 3-punktowymi celami z pola i 7-punktowymi przyłożeniami?
Oczywiście przyłożenia bez konwersji są warte 6, ale ponieważ i tak można do tego dojść z dwoma celami z pola, problem nie ma znaczenia. Ponadto, ponieważ zajmujemy się tutaj matematyką, nie musisz się martwić o taktykę konkretnego zespołu, ani nawet o jakiekolwiek ograniczenia w ich zdolności do zdobywania punktów.
Spróbuj rozwiązać ten problem samodzielnie, zanim przejdziesz dalej!
Znalezienie rozwiązania (powolna droga)
Ten problem ma kilka skomplikowanych rozwiązań matematycznych (patrz Zasoby, aby uzyskać szczegółowe informacje, ale główny wynik zostanie przedstawiony poniżej), ale jest to dobry przykład tego, jak to nie jest potrzebne znaleźć odpowiedź.
Wszystko, co musisz zrobić, aby znaleźć rozwiązanie brutalnej siły, to po prostu wypróbować każdy z wyników po kolei. Wiemy więc, że nie możesz zdobyć 1 lub 2, ponieważ są one mniej niż 3. Ustaliliśmy już, że 4 i 5 nie są możliwe, ale 6 jest, z dwoma celami z pola. Czy po 7 (co jest możliwe) możesz zdobyć 8? Nie. Trzy rzuty z gry dają 9, a rzut z gry i przeliczone przyłożenie daje 10. Ale nie możesz dostać 11.
Od tego momentu mała praca pokazuje, że:
\begin{wyrównane} 3 × 4 &= 12\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\ 7 × 2 &= 14\\ 3 × 5 &= 15\\ 7 + (3 × 3) &= 16\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \end{wyrównane}
I tak naprawdę możesz to robić tak długo, jak chcesz. Wydaje się, że odpowiedź brzmi 11. Ale czy tak jest?
Rozwiązanie algebraiczne
Matematycy nazywają te problemy „problemami z monetami Frobeniusa”. Oryginalna forma związana z monetami, taka jak: Gdybyś miał tylko wycenione monety 4 centy i 11 centów (nie prawdziwe monety, ale znowu to dla ciebie problemy matematyczne), jaka jest największa kwota pieniędzy, której nie mogłeś produkować.
Rozwiązaniem z punktu widzenia algebry jest to, że z jednym wynikiem p punkty i jeden wynik warty q punkty, najwyższy wynik, którego nie możesz uzyskać (N) jest dany przez:
N = pq \; – \;(p + q)
Czyli podpięcie wartości z problemu Super Bowl daje:
\begin{wyrównane} N &= 3 × 7\; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10\\ &= 11 \end{wyrównane}
To jest odpowiedź, którą otrzymaliśmy powoli. A co by było, gdybyś mógł zdobywać tylko przyłożenia bez konwersji (6 punktów) i przyłożenia z jednopunktową konwersją (7 punktów)? Sprawdź, czy możesz użyć formuły, aby to rozpracować, zanim zaczniesz czytać.
W takim przypadku formuła staje się:
\begin{wyrównane} N &= 6 × 7\; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13\\ &= 29 \end{wyrównany}
Problem z kurczakiem McNugget
Gra się skończyła i chcesz nagrodzić zwycięską drużynę wycieczką do McDonald's. Ale sprzedają tylko McNuggets w pudełkach po 9 lub 20 sztuk. Więc jaka jest największa liczba bryłek? żargon kupić z tymi (nieaktualnymi) numerami pudełek? Spróbuj użyć wzoru, aby znaleźć odpowiedź, zanim zaczniesz czytać.
Od
N = pq \; – \;(p + q)
I z p = 9 i q = 20:
\begin{wyrównane} N &= 9 × 20\; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29\\ &= 151 \end{wyrównane}
Więc pod warunkiem, że kupowałeś więcej niż 151 bryłek – zwycięska drużyna prawdopodobnie będzie w końcu dość głodna – możesz kupić dowolną liczbę bryłek za pomocą jakiejś kombinacji pudełek.
Być może zastanawiasz się, dlaczego omówiliśmy tylko dwucyfrowe wersje tego problemu. Co by było, gdybyśmy włączyli zabezpieczenia lub gdyby McDonalds sprzedał trzy rozmiary pudełek z samorodkami? Jest brak jasnej formuły w tym przypadku i chociaż większość wersji można rozwiązać, niektóre aspekty pytania są całkowicie nierozwiązane.
Więc może kiedy oglądasz mecz lub jesz małe kawałki kurczaka, możesz twierdzić, że próbujesz rozwiązać otwarty problem matematyczny – warto spróbować uwolnić się od obowiązków!