Wyobraź sobie, że obsadzisz armatę, której celem jest zburzenie murów wrogiego zamku, aby Twoja armia mogła wkroczyć do akcji i odnieść zwycięstwo. Jeśli wiesz, jak szybko kula porusza się po opuszczeniu armaty i wiesz, jak daleko są ściany, pod jakim kątem strzału musisz wystrzelić z armaty, aby skutecznie trafić w ściany?
To jest przykład problemu z ruchem pocisku i możesz rozwiązać ten i wiele podobnych problemów, używając równań kinematyki stałego przyspieszenia i pewnej podstawowej algebry.
Ruch pociskutak fizycy opisują ruch dwuwymiarowy, w którym jedynym przyspieszeniem, jakiego doświadcza dany obiekt, jest stałe przyspieszenie w dół spowodowane grawitacją.
Na powierzchni Ziemi stałe przyspieszeniezajest równesol= 9,8 m/s2, a obiekt będący w ruchu pocisku jest wswobodny spadekz tym jako jedynym źródłem przyspieszenia. W większości przypadków przyjmie ścieżkę paraboli, więc ruch będzie miał składową zarówno poziomą, jak i pionową. Chociaż miałoby to (ograniczony) efekt w prawdziwym życiu, na szczęście większość problemów z ruchem pocisków z fizyki w szkole średniej ignoruje efekt oporu powietrza.
Możesz rozwiązać problemy z ruchem pocisku za pomocą wartościsoloraz kilka innych podstawowych informacji o aktualnej sytuacji, takich jak początkowa prędkość pocisku i kierunek, w którym się porusza. Nauka rozwiązywania tych problemów jest niezbędna do zaliczenia większości wstępnych zajęć z fizyki, a także zapozna Cię z najważniejszymi pojęciami i technikami, których będziesz potrzebować również na późniejszych kursach.
Równania ruchu pocisku
Równania ruchu pocisku są równaniami stałego przyspieszenia z kinematyki, ponieważ przyspieszenie grawitacyjne jest jedynym źródłem przyspieszenia, które należy wziąć pod uwagę. Cztery główne równania, których będziesz potrzebować, aby rozwiązać każdy problem z ruchem pocisku, to:
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2 jako
Tutaj,voznacza szybkość,v0 to prędkość początkowa,zato przyspieszenie (które jest równe przyspieszeniu w dółsolwe wszystkich problemach z ruchem pocisków),sto przemieszczenie (od pozycji wyjściowej) i jak zawsze masz czas,t.
Te równania technicznie dotyczą tylko jednego wymiaru i tak naprawdę mogą być reprezentowane przez wielkości wektorowe (w tym prędkośćv, prędkość początkowav0 i tak dalej), ale w praktyce możesz po prostu używać tych wersji osobno, raz wx-kierunek i raz wtak-kierunek (a jeśli kiedykolwiek miałeś problem z trójwymiarowym, wz-kierunek też).
Należy pamiętać, że są toużywany tylko do stałego przyspieszania, co czyni je idealnymi do opisu sytuacji, w których wpływ grawitacji jest jedyny przyspieszenie, ale nieodpowiednie w wielu rzeczywistych sytuacjach, w których potrzebne są dodatkowe siły uważane.
W podstawowych sytuacjach to wszystko, czego potrzebujesz, aby opisać ruch obiektu, ale jeśli to konieczne, możesz włączyć inne czynniki, takie jak wysokość, z której pocisk został wystrzelony, a nawet rozwiązać je dla najwyższego punktu pocisku na jego ścieżka.
Rozwiązywanie problemów z ruchem pocisku
Teraz, gdy znasz już cztery wersje wzoru na ruch pocisku, którego musisz użyć, aby rozwiązać problemy, możesz zacząć myśleć o strategii, której używasz, aby rozwiązać ruch pocisku problem.
Podstawowym podejściem jest podzielenie problemu na dwie części: jedną dla ruchu poziomego i drugą dla ruchu pionowego. Technicznie nazywa się to składową poziomą i składową pionową, a każdy z nich ma odpowiedni zestaw wielkości, takie jak prędkość pozioma, prędkość pionowa, przemieszczenie poziome, przemieszczenie pionowe i wkrótce.
Dzięki takiemu podejściu możesz użyć równań kinematyki, zwracając uwagę, że czastjest taki sam dla składowych poziomych i pionowych, ale rzeczy takie jak prędkość początkowa będą miały różne składowe dla początkowej prędkości pionowej i początkowej prędkości poziomej.
Kluczową rzeczą do zrozumienia jest to, że dla ruchu dwuwymiarowegokażdykąt ruchu można podzielić na składową poziomą i składową pionową, ale kiedy jeśli to zrobisz, pojawi się jedna pozioma wersja danego równania i jedna pionowa wersja.
Pominięcie wpływu oporu powietrza znacznie upraszcza problemy z poruszaniem się pocisku, ponieważ kierunek poziomy nigdy ich nie ma przyspieszenie w problemie ruchu pocisku (spadku swobodnego), ponieważ wpływ grawitacji działa tylko pionowo (tj. w kierunku powierzchni Ziemia).
Oznacza to, że składowa pozioma prędkości jest po prostu stałą prędkością, a ruch zatrzymuje się tylko wtedy, gdy grawitacja sprowadza pocisk na poziom gruntu. Można to wykorzystać do określenia czasu lotu, ponieważ jest on całkowicie zależny odtak-ruch w kierunku i można go całkowicie obliczyć na podstawie przemieszczenia pionowego (tj. czasutgdy przemieszczenie pionowe wynosi zero, informuje o czasie lotu).
Trygonometria w problemach z ruchem pocisku
Jeśli omawiany problem podaje kąt startu i prędkość początkową, będziesz musiał użyć trygonometrii, aby znaleźć składowe prędkości poziomej i pionowej. Gdy to zrobisz, możesz użyć metod opisanych w poprzedniej sekcji, aby faktycznie rozwiązać problem.
Zasadniczo tworzysz trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną nachyloną pod kątem startu (θ) i wielkość prędkości jako długość, a sąsiednia strona to składowa pozioma prędkości, a strona przeciwna to prędkość pionowa.
Narysuj trójkąt prostokątny zgodnie z kierunkiem, a zobaczysz, że znajdziesz komponenty poziome i pionowe za pomocą tożsamości trygonometrycznych:
\text{cos}\; θ = \frac{\text{sąsiadujące}}{\text{przeciwprostokątna}}
\text{grzech}\; θ = \frac{\text{przeciwko}}{\text{hipoprostokątna}}
Można je więc zmienić (i przeciwnie =vtak i sąsiednie =vx, tj. odpowiednio pionowa i pozioma składowa prędkości oraz przeciwprostokątna =v0, prędkość początkowa), aby uzyskać:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
To cała trygonometria, którą musisz zrobić, aby rozwiązać problemy z ruchem pocisku: podłączając kąt strzału do równania, używając funkcji sinus i cosinus na kalkulatorze i mnożąc wynik przez początkową prędkość pocisk.
Aby przejść przez przykład, jak to zrobić, przy prędkości początkowej 20 m/s i kącie startu 60 stopni, elementy to:
\begin{wyrównane} v_x &= 20 \;\text{m/s} × \cos (60) \\ &= 10 \;\text{m/s} \\ v_y &= 20 \;\text {m /s} × \sin (60) \\ &= 17,32 \;\text{m/s} \end{wyrównany}
Przykładowy problem z ruchem pocisku: wybuchający fajerwerk
Wyobraź sobie, że fajerwerk ma zapalnik zaprojektowany tak, że eksploduje w najwyższym punkcie swojej trajektorii i jest wystrzeliwany z prędkością początkową 60 m/s pod kątem 70 stopni do poziomu.
Jak byś obliczył, jaką wysokość?hwybucha o? A jaki będzie czas od premiery, kiedy wybuchnie?
Jest to jeden z wielu problemów związanych z maksymalną wysokością pocisku, a sposobem na ich rozwiązanie jest zauważenie, że na maksymalnej wysokości pocisktak-składowa prędkości wynosi 0 m/s na chwilę. Podłączając tę wartość dlavtak i wybierając najbardziej odpowiednie równanie kinematyczne, możesz łatwo rozwiązać ten i każdy podobny problem.
Najpierw, patrząc na równania kinematyczne, wyskakuje to (z dodanymi indeksami, aby pokazać, że pracujemy w kierunku pionowym):
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
To równanie jest idealne, ponieważ znasz już przyspieszenie (zatak = -sol), prędkość początkowa i kąt startu (abyś mógł obliczyć składową pionową)vy0). Ponieważ szukamy wartościstak (tj. wysokośćh) gdyvtak = 0, możemy podstawić zero dla końcowej pionowej składowej prędkości i przeorganizować dlastak:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
Ponieważ ma sens nazywanie kierunku w górętak, a ponieważ przyspieszenie ziemskiesoljest skierowany w dół (tj. w -takkierunek), możemy się zmienićzatak dla -sol. Wreszcie dzwonięstak wysokośćh, możemy pisać:
h = \frac{v_{0y}^2}{2g}
Jedyną rzeczą, którą musisz wypracować, aby rozwiązać problem, jest pionowa składowa prędkości początkowej, którą możesz wykonać za pomocą podejścia trygonometrycznego z poprzedniej sekcji. Tak więc z informacjami z pytania (60 m/s i 70 stopni do startu poziomego) daje to:
\begin{wyrównane} v_{0y} &= 60 \;\text{m/s} × \sin (70) \\ &= 56,38 \;\text{m/s} \end{wyrównane}
Teraz możesz rozwiązać maksymalną wysokość:
\begin{aligned} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56,38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9,8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162,19 \text{m} \end{wyrównane}
Tak więc fajerwerk wybuchnie na wysokości około 162 metrów nad ziemią.
Kontynuując przykład: czas lotu i przebyta odległość
Po rozwiązaniu podstaw problemu ruchu pocisku opartego wyłącznie na ruchu pionowym, pozostałą część zadania można rozwiązać z łatwością. Przede wszystkim czas od wystrzelenia, w którym lont eksploduje, można określić za pomocą jednego z pozostałych równań stałego przyspieszenia. Patrząc na opcje, następujące wyrażenie:
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) t \\
ma czast, czyli to, co chcesz wiedzieć; przemieszczenie, które znasz dla maksymalnego punktu lotu; początkowa prędkość pionowa; i prędkość w momencie maksymalnej wysokości (o której wiemy, że wynosi zero). Tak więc na tej podstawie równanie można zmienić, aby dać wyrażenie na czas lotu:
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
Więc wstawianie wartości i rozwiązywanietdaje:
\begin{wyrównane} t &= \frac{2 × 162,19 \;\text{m}} {56,38 \; \text{m/s}} \\ &= 5,75 \;\text{s} \end{wyrównany}
Tak więc fajerwerk wybuchnie 5,75 sekundy po wystrzeleniu.
Na koniec możesz łatwo określić przebytą odległość poziomą na podstawie pierwszego równania, które (w kierunku poziomym) stwierdza:
v_x = v_{0x} + a_xt
Zauważając jednak, że nie ma przyspieszenia wx-kierunek, to po prostu:
v_x = v_{0x}
Oznacza to, że prędkość wxkierunek jest taki sam podczas całej podróży fajerwerków. Jeśli się uwzględniv = re/t, gdziereto przebyta odległość, łatwo to zauważyćre = vt, a więc w tym przypadku (zsx = re):
s_x = v_{0x}t
Więc możesz wymienićv0x z wcześniejszym wyrażeniem trygonometrycznym wprowadź wartości i rozwiąż:
\begin{wyrównane} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5,75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\text{m} \end{wyrównany}
Przejedzie więc około 118 m przed wybuchem.
Dodatkowy problem z ruchem pocisku: Fajerwerk niewypał
Jako dodatkowy problem do pracy wyobraź sobie fajerwerk z poprzedniego przykładu (początkowa prędkość wystrzelenia 60 m/s) pod kątem 70 stopni do poziomu) nie eksplodował na szczycie swojej paraboli, a zamiast tego ląduje na ziemi niewybuch. Czy możesz w tym przypadku obliczyć całkowity czas lotu? Jak daleko od miejsca startu w kierunku poziomym wyląduje, czyli innymi słowy, co to jestzasięgpocisku?
Ten problem działa w zasadzie w ten sam sposób, gdzie pionowe składowe prędkości i przemieszczenia są najważniejsze rzeczy, które musisz wziąć pod uwagę, aby określić czas lotu, a na tej podstawie możesz określić zasięg. Zamiast szczegółowo analizować rozwiązanie, możesz rozwiązać to samodzielnie na podstawie poprzedniego przykładu.
Istnieją wzory na zasięg pocisku, które można sprawdzić lub wyprowadzić z równań stałego przyspieszenia, ale to nie jest naprawdę potrzebne, ponieważ znasz już maksymalną wysokość pocisku i od tego momentu po prostu spada swobodnie pod wpływem powaga.
Oznacza to, że możesz określić czas potrzebny na opadnięcie fajerwerków na ziemię, a następnie dodać go do czasu lotu do maksymalnej wysokości, aby określić całkowity czas lotu. Od tego momentu jest to ten sam proces używania stałej prędkości w kierunku poziomym wraz z czasem lotu do określenia zasięgu.
Pokaż, że czas lotu to 11,5 sekundy, a zasięg to 236 m, zwracając uwagę, że będziesz musiał obliczyć składową pionową prędkości w punkcie, w którym uderza ona w ziemię jako pośrednia krok.