W życiu codziennym większość ludzi używa terminówprędkośćiprędkośćzamiennie, ale dla fizyków są to przykłady dwóch bardzo różnych rodzajów ilości.
Problemy mechaniki dotyczą ruchu obiektów i chociaż można po prostu opisać ruch w kategoriach prędkości, konkretny kierunek, w którym coś się porusza, jest często krytycznie ważny.
Podobnie siły przyłożone do obiektów mogą pochodzić z wielu różnych kierunków – pomyślmy na przykład o przeciwstawnych ciągnięciach podczas przeciągania liny – więc fizycy opisujący sytuacje takie jak ta muszą używać wielkości opisujących zarówno „rozmiar” rzeczy takich jak siły, jak i kierunek, w którym one działają akt. Te ilości są nazywanewektory.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Wektor ma zarówno wielkość, jak i określony kierunek, ale wielkość skalarna ma tylko wielkość.
Wektory vs. Skalary
Kluczowa różnica między wektorami a skalarami polega na tym, że wielkość wektora nie opisuje go całkowicie; musi być też określony kierunek.
Kierunek wektora można określić na wiele sposobów, czy to poprzez dodatnie czy ujemne znaki przed nim, wyrażając go w postaci składowych (wartości skalarne obok odpowiednich
ja, jotik„wektor jednostkowy”, które odpowiadają współrzędnym kartezjańskimx, takiz), dodając kąt w stosunku do określonego kierunku (np. „60 stopni od fromx-osi”) lub po prostu dodając kilka słów opisujących kierunek (np. „północny zachód”).Z kolei skalar to tylko wielkość wektora bez dodatkowej notacji lub informacji – na przykład prędkość jest skalarnym odpowiednikiem wektora prędkości. Z matematycznego punktu widzenia jest to wartość bezwzględna wektora.
Jednak wiele wielkości, takich jak energia, ciśnienie, długość, masa, moc i temperatura, to przykłady skalarów, które nie są tylko wielkością odpowiedniego wektora. Nie musisz na przykład znać „kierunku” masy, aby mieć pełny obraz jej jako właściwości fizycznej.
Jest kilka sprzecznych z intuicją faktów, które możesz zrozumieć, gdy znasz różnicę między skalarem i wektor, taki jak idea, że coś może mieć stałą prędkość, ale ciągle się zmienia prędkość. Wyobraź sobie samochód jadący ze stałą prędkością 10 km/h, ale po okręgu. Ponieważ kierunek wektora jest częścią jego definicji, wektor prędkości samochodu jest zawsze zmienia się w tym przykładzie, mimo że wielkość wektora (tj. jego prędkość) wynosi stały.
Przykłady wielkości wektorowych
Istnieje wiele przykładów wektorów w fizyce, ale niektóre z najbardziej znanych przykładów to siła, pęd, przyspieszenie i prędkość, które są silnie obecne w fizyce klasycznej. Wektor prędkości może być wyświetlany jako 25 m/s na wschód, -8 km/h wtak-kierunek,v= 5 m/sja+ 10 m/sjot, lub 10 m/s w kierunku 50 stopni odx-oś.
Wektory pędu to kolejny przykład, którego możesz użyć, aby zobaczyć, jak wielkość i kierunek wektora są wyświetlane w fizyce. Działają one tak samo jak przykłady wektora prędkości, przy 50 kg m/s na zachód, -12 km/h wzkierunek,p= 12 kg m/sja– 10 kg m/sjot– 15 kg m/ski 100 kg m/s 30 stopni odx-osi są przykładami tego, jak mogą być wyświetlane. Te same podstawowe punkty dotyczą wyświetlania wektorów przyspieszenia, z tą różnicą, że jest to jednostka m/s2 i powszechnie używany symbol wektora,za.
Siła jest ostatnim z tych przykładów wyrażeń wektorowych i chociaż istnieje wiele podobieństw, przy użyciu współrzędnych cylindrycznych (r, θ, z) zamiast współrzędnych kartezjańskich może pomóc pokazać inne sposoby ich wyświetlania. Na przykład możesz napisać siłę jakofa= 10 Nr+ 35 N𝛉, dla siły o składowych w kierunku promieniowym i azymutalnym, lub opisz siłę grawitacji na 1 kg obiekcie na Ziemi jako 10 N w –rkierunek (tj. w kierunku środka planety).
Notacja wektorowa na diagramach
Na diagramach wektory są wyświetlane za pomocą strzałek, przy czym wielkość wektora jest reprezentowana przez długość strzałki, a jego kierunek jest reprezentowany przez kierunek, w którym wskazuje strzałka. Na przykład większa strzałka wskazuje, że siła jest większa (tj. więcej niutonów lub większa wielkość) niż inna siła.
W przypadku wektora, który pokazuje ruch, takiego jak wektor pędu lub prędkości,wektor zerowy(tj. wektor reprezentujący brak prędkości lub pędu) jest wyświetlany za pomocą pojedynczej kropki.
Warto to zauważyć, ponieważ długość strzałki reprezentuje wielkość wektora, a jej orientacja reprezentuje kierunek wektora. Przy tworzeniu diagramu wektorowego warto starać się być dość dokładnym. Nie musi być idealnie, ale jeśli wektorzajest dwa razy większy od wektorab, strzałka powinna być mniej więcej dwa razy dłuższa.
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Dodawanie i odejmowanie wektorów jest nieco bardziej skomplikowane niż dodawanie i odejmowanie skalarów, ale te pojęcia można łatwo przyswoić. Istnieją dwa główne podejścia, z których możesz skorzystać, a każde z nich ma potencjalne zastosowania w zależności od konkretnego problemu, z którym się borykasz.
Pierwszym i najłatwiejszym w użyciu, gdy otrzymałeś dwa wektory w formie składowej, jest po prostu dodawanie pasujących składowych w taki sam sposób, w jaki dodaje się zwykłe skalary. Na przykład, jeśli musisz dodać dwie siłyfa1 = 5 Nja+ 10 Njotifa2 = 6 Nja+ 15 Njot+ 10 Nk, dodałbyśjakomponenty, a następniejotkomponenty i wreszciekkomponenty w następujący sposób:
\begin{wyrównany} \bm{F}_1 + \bm{F}_2 &= (5 \;\text{N} \;\bold{i} + 10 \;\text{N}\;\bold{ j}) + (6 \;\text{N} \;\bold{i} + 15 \;\text{N}\;\bold{j} + 10 \;\text{N}\;\bold{ k}) \\ &= (5 \;\text{N} + 6 \;\text{N}) \bold{i} + (10 \;\text{N} + 15 \;\text{N}) \bold{j} + (0 \;\text{N} + 10 \;\text{N}) \bold{k} \\ &= 11 \;\text{N} \;\bold{i} + 25 \;\text{N} \;\bold{j} + 10 \;\text{N} \;\bold{k} \end{wyrównany}
Odejmowanie wektorów działa dokładnie w ten sam sposób, z tą różnicą, że odejmuje się wielkości zamiast je dodawać. Dodawanie wektorów jest również przemienne, jak zwykłe dodawanie do liczb rzeczywistych, więcza + b = b + za.
Możesz również wykonać dodawanie wektorów za pomocą diagramów strzałkowych, układając strzałki wektora od głowy do ogona, a następnie narysowanie nowej strzałki wektora dla sumy wektorów łączących ogon pierwszej strzałki z głowicą druga.
Jeśli masz proste dodawanie wektorów z jednym wx-kierunek i inny wtak-kierunek, diagram tworzy trójkąt prostokątny. Możesz zakończyć dodawanie wektorów i określić wielkość i kierunek otrzymanego wektora, „rozwiązując” trójkąt za pomocą trygonometrii i twierdzenia Pitagorasa.
Produkt kropkowy i produkt krzyżowy
Mnożenie wektorów jest nieco bardziej skomplikowane niż mnożenie przez skalar dla liczb rzeczywistych, ale dwie główne formy mnożenia to iloczyn skalarny i iloczyn poprzeczny. Iloczyn skalarny nazywa się iloczynem skalarnym i definiuje się go jako:
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
lub
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = \lvert\bm{u}\rvert\lvert\bm{v}\rvert \text{cos}(θ)
gdzieθjest kątem między dwoma wektorami, a indeksy dolne 1, 2 i 3 reprezentują pierwszy, drugi i trzeci składnik wektora. Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar.
Produkt krzyżowy jest zdefiniowany jako:
\bm{a} \; \bold{×} \;\bm{b} =(a_2b_3 − a_3b_2, a_3b_1 − a_1b_3,a_1b_2 − a_2b_1)
z przecinkami oddzielającymi składniki wyniku w różnych kierunkach.