ZAwektorjest wielkością, z którą związane są zarówno wielkość, jak i kierunek. To jest inne niżskalarnyilość, która odpowiada tylko wielkości. Prędkość jest przykładem wielkości wektorowej. Ma zarówno wielkość (jak szybko coś się porusza), jak i kierunek (kierunek, w którym się porusza).
Wektory są często rysowane jako strzałki. Długość strzałki odpowiada wielkości wektora, a grot strzałki wskazuje kierunek.
Istnieją dwa sposoby pracy z dodawaniem i odejmowaniem wektorów. Pierwsza to graficzna manipulacja diagramami strzałek samych wektorów. Drugi jest matematycznie, co daje dokładne wyniki.
Graficzne dodawanie i odejmowanie wektorów w jednym wymiarze
Dodając dwa wektory, umieszczasz ogon drugiego wektora na wierzchołku pierwszego wektora, zachowując orientację wektora.wektor wynikowyto wektor, który zaczyna się na końcu pierwszego wektora i wskazuje w linii prostej na wierzchołek drugiego wektora.
Rozważ na przykład dodanie wektorówZAibktóre wskazują w tym samym kierunku wzdłuż linii. Umieszczamy je „czubkiem do ogona” i wypadkowy wektor,
Odejmowanie wektorów w jednym wymiarze jest zasadniczo takie samo jak dodawanie, z wyjątkiem tego, że „odwracasz” drugi wektor. Wynika to bezpośrednio z faktu, że odejmowanie jest tym samym, co dodawanie negatywu.
Matematyczne dodawanie i odejmowanie wektorów w jednym wymiarze
Podczas pracy w jednym wymiarze kierunek wektora można wskazać znakiem. Wybieramy jeden kierunek jako kierunek dodatni (zazwyczaj „w górę” lub „w prawo” są wybierane jako dodatnie) i przypisujemy dowolny wektor wskazujący w tym kierunku jako wartość dodatnią. Każdy wektor skierowany w kierunku ujemnym jest wielkością ujemną. Podczas dodawania lub odejmowania wektorów dodaj lub odejmij ich wielkości z dołączonymi odpowiednimi znakami.
Załóżmy, że w poprzedniej sekcji wektorZAmiał wielkość 3 i wektorbmiał wielkość 5. Wtedy wypadkowy wektorC = A + B =8, wektor wielkości 8 wskazujący w kierunku dodatnim i wektor wypadkowyre = A - B =-2, wektor wielkości 2 wskazujący w kierunku ujemnym. Zauważ, że jest to zgodne z wcześniejszymi wynikami graficznymi.
Wskazówka: Uważaj, aby dodać tylko wektory tego samego typu: prędkość + prędkość, siła + siła i tak dalej. Podobnie jak w przypadku wszystkich matematyki w fizyce, jednostki muszą się zgadzać!
Graficzne dodawanie i odejmowanie wektorów w dwóch wymiarach
Jeśli pierwszy wektor i drugi wektor nie leżą wzdłuż tej samej linii w przestrzeni kartezjańskiej, możesz użyć tej samej metody „końcówki do ogona”, aby je dodać lub odjąć. Aby dodać dwa wektory, po prostu wyobraź sobie podniesienie drugiego i umieszczenie jego ogona na czubku pierwszego, zachowując jego orientację, jak pokazano. Powstały wektor to strzałka rozpoczynająca się na końcu pierwszego wektora i kończąca się na końcu drugiego wektora:
Podobnie jak w jednym wymiarze, odejmowanie jednego wektora od drugiego jest równoważne odwracaniu i dodawaniu. Graficznie wygląda to tak:
•••Dana Chen | Nauka
Uwaga: Czasami dodawanie wektorów jest przedstawiane graficznie przez złożenie końców dwóch wektorów dodawania razem i utworzenie równoległoboku. Wypadkowy wektor jest więc przekątną tego równoległoboku.
Matematyczne dodawanie i odejmowanie wektorów w dwóch wymiarach
Aby matematycznie dodawać i odejmować wektory w dwóch wymiarach, wykonaj następujące kroki:
Rozłóż każdy wektor nax-component, czasami nazywany komponentem poziomym, oraz atak-komponent, czasami nazywany komponentem pionowym, przy użyciu trygonometrii. (Zauważ, że komponenty mogą być ujemne lub dodatnie w zależności od kierunku, w którym wskazuje wektor)
Dodajx-składowe obu wektorów razem, a następnie dodajtak-składniki obu wektorów razem. Ten wynik dajexitakskładowe wektora wynikowego.
Wartość wektora wynikowego można znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Kierunek wynikowego wektora można znaleźć za pomocą trygonometrii przy użyciu funkcji odwrotnej tangensa. Ten kierunek jest zwykle podawany jako kąt w stosunku do dodatniegox-oś.
Trygonometria w dodawaniu wektorów
Przypomnij sobie relacje między bokami i kątami trójkąta prostokątnego z trygonometrii.
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ theta)=\frac{b}{a}
Twierdzenie Pitagorasa:
c^2=a^2+b^2
Ruch pocisku dostarcza klasycznych przykładów tego, jak możemy wykorzystać te zależności zarówno do rozkładu wektora, jak i do określenia ostatecznej wielkości i kierunku wektora.
Rozważ dwie osoby grające w łapanie. Załóżmy, że powiedziano ci, że piłka została wyrzucona z wysokości 1,3 m z prędkością 16 m/s pod kątem 50 stopni do poziomu. Aby rozpocząć analizę tego problemu, musisz rozłożyć ten wektor prędkości początkowej naxitakkomponenty, jak pokazano:
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (50)=12.3\text{ m/s}
Jeśli łapacz nie trafi w piłkę i uderzy ona w ziemię, z jaką końcową prędkością uderzy?
Korzystając z równań kinematycznych jesteśmy w stanie określić, że końcowe składowe prędkości kuli to:
v_{xf}=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yf}=-13,3\text{ m/s}
Twierdzenie Pitagorasa pozwala nam znaleźć wielkość:
v_{f}=\sqrt{(10,3)^2+ (-13,3)^2}=16.8\text{m/s}
A trygonometria pozwala nam określić kąt:
\theta=\tan^{-1}\Duża(\frac{-13.3}{10,3}\Duża)=-52,2\stopień
Przykład dodawania i odejmowania wektorów
Rozważ samochód jadący za rogiem. Przypuszczaćvjabo samochód jest wx-kierunek o wielkości 10 m/s, orazvfajest pod kątem 45 stopni z pozytywemx-oś o wielkości 10 m/s. Jeśli ta zmiana w ruchu nastąpi w ciągu 3 sekund, jaka jest wielkość i kierunek przyspieszenia samochodu podczas skrętu?
Przypomnij sobie to przyspieszeniezajest wielkością wektorową zdefiniowaną jako:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Gdzievfaivjasą odpowiednio prędkościami końcowymi i początkowymi (a zatem są również wielkościami wektorowymi).
Aby obliczyć różnicę wektorówvfa - vja,musimy najpierw rozłożyć wektory prędkości początkowej i końcowej:
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
Następnie odejmujemy ostatecznąxitakskładniki od początkowegoxitakkomponenty do pobrania komponentówvfa - vja:
Następnie odejmujemyxitakskładniki:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7,07\tekst{ m/s}
Następnie podziel każdy przez czas, aby uzyskać składowe wektora przyspieszenia:
a_x=\frac{-2,93}{3}=-0,977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2,36\text{ m/s} ^2
Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć wartość wektora przyspieszenia:
a=\sqrt{(-0,977)^2+(2,36)^2}=2,55\text{ m/s}^2
Na koniec użyj trygonometrii, aby znaleźć kierunek wektora przyspieszenia:
\theta=\tan^{-1}\duża(\frac{2.36}{-0,977}\duża)=113\stopień
