Rozkład Maxwella-Boltzmanna: funkcja, wyprowadzenie i przykłady

Opisywanie tego, co dzieje się z bardzo małymi cząstkami, jest wyzwaniem w fizyce. Nie tylko trudno jest pracować z ich rozmiarem, ale w większości codziennych zastosowań nie mamy do czynienia z pojedynczą cząsteczką, ale z niezliczoną liczbą z nich wszystkich oddziałujących ze sobą.

Cząsteczki wewnątrz ciała stałego nie przechodzą obok siebie, ale raczej tkwią w miejscu. Jednak ciała stałe mogą rozszerzać się i kurczyć pod wpływem zmian temperatury, a czasami nawet ulegać interesującym zmianom w strukturach krystalicznych w pewnych sytuacjach.

W cieczach cząstki mogą swobodnie przemieszczać się obok siebie. Naukowcy nie mają jednak tendencji do badania płynów, próbując śledzić, co robi każda pojedyncza cząsteczka. Zamiast tego patrzą na większe właściwości całości, takie jak lepkość, gęstość i ciśnienie.

Podobnie jak w przypadku cieczy, cząstki w gazie mogą swobodnie przemieszczać się obok siebie. W rzeczywistości gazy mogą ulegać dramatycznym zmianom objętości z powodu różnic temperatury i ciśnienia.

Ponownie, nie ma sensu badanie gazu poprzez śledzenie, co robi każda pojedyncza cząsteczka gazu, nawet w równowadze termicznej. Nie byłoby to możliwe, zwłaszcza gdy weźmie się pod uwagę, że nawet w pustej szklance jest ich około 10²² cząsteczki powietrza. Nie ma nawet komputera wystarczająco potężnego, aby przeprowadzić symulację tak wielu oddziałujących cząsteczek. Zamiast tego naukowcy wykorzystują właściwości makroskopowe, takie jak ciśnienie, objętość i temperatura, do badania gazów i dokonywania dokładnych prognoz.

Najłatwiejszy do analizy rodzaj gazu to gaz doskonały. Jest to idealne rozwiązanie, ponieważ pozwala na pewne uproszczenia, które znacznie ułatwiają zrozumienie fizyki. Wiele gazów w standardowych temperaturach i ciśnieniach działa w przybliżeniu jak gazy idealne, co sprawia, że ​​ich badanie jest również przydatne.

W idealnym gazie zakłada się, że same cząsteczki gazu zderzają się w idealnie sprężystych zderzeniach, więc nie musisz się martwić, że energia zmieni formę w wyniku takich zderzeń. Zakłada się również, że cząsteczki są bardzo daleko od siebie, co zasadniczo oznacza: nie musisz się martwić, że walczą ze sobą o przestrzeń i możesz traktować je jako punkt cząstki. Gazy doskonałe nie są również ani za gorące, ani za zimne, więc nie musisz się martwić o efekty takie jak jonizacja czy efekty kwantowe.

Stąd cząsteczki gazu mogą być traktowane jak małe cząsteczki punktowe odbijające się w pojemniku. Ale nawet przy tym uproszczeniu nadal nie jest możliwe zrozumienie gazów poprzez śledzenie, co robi każda pojedyncza cząstka. Pozwala jednak naukowcom opracowywać modele matematyczne opisujące relacje między wielkościami makroskopowymi.

Prawo gazu doskonałego odnosi się do ciśnienia, objętości i temperatury gazu doskonałego. PresjaPgazu to siła na jednostkę powierzchni, jaką wywiera na ścianki pojemnika, w którym się znajduje. Jednostką ciśnienia w układzie SI jest paskal (Pa), gdzie 1Pa = 1N/m². ObjętośćVgazu to ilość zajmowanego miejsca w jednostkach SI m³. I temperaturaTgazu jest miarą średniej energii kinetycznej na cząsteczkę, mierzonej w jednostkach SI kelwinów.

Równanie opisujące prawo gazu doskonałego można zapisać w następujący sposób:

GdzieNto liczba cząsteczek lub liczba cząstek i stała Boltzmannak​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/s²K.

Równoważnym sformułowaniem tego prawa jest:

Gdzienieto liczba moli i uniwersalna stała gazowaR= 8,3145 J/molK.

Te dwa wyrażenia są równoważne. To, który z nich wybierzesz, zależy po prostu od tego, czy mierzysz liczbę cząsteczek w molach, czy w liczbie cząsteczek.

• 1 mol = 6,022×10²³ cząsteczki, co jest liczbą Avogadro.

Gdy gaz zostanie w przybliżeniu uznany za idealny, można dokonać dodatkowego uproszczenia. Oznacza to, że zamiast rozważać dokładną fizykę każdej cząsteczki – co byłoby niemożliwe ze względu na samą ich liczbę – traktuje się je tak, jakby ich ruchy były przypadkowe. Z tego powodu statystyki można zastosować, aby zrozumieć, co się dzieje.

W XIX wieku fizycy James Clerk Maxwell i Ludwig Boltzmann opracowali kinetyczną teorię gazów opartą na opisanych uproszczeniach.

Klasycznie, każda cząsteczka w gazie może mieć przypisaną energię kinetyczną w postaci:

Jednak nie każda cząsteczka w gazie ma taką samą energię kinetyczną, ponieważ stale się zderzają. Dokładny rozkład energii kinetycznych cząsteczek jest podany przez rozkład Maxwella-Boltzmanna.

Statystyki Maxwella-Boltzmanna opisują rozkład cząsteczek gazu doskonałego w różnych stanach energetycznych. Funkcja opisująca ten rozkład jest następująca:

GdzieZAjest stałą normalizacji,mijest energia,kjest stałą Boltzmanna iTjest temperatura.

Dalsze założenia przyjęte w celu uzyskania tej funkcji są takie, że ze względu na ich charakter cząstek punktowych, nie ma limitu liczby cząstek, które mogą zajmować dany stan. Również rozkład cząstek między stanami energetycznymi z konieczności przyjmuje najbardziej prawdopodobny rozkład (z większa liczba cząstek, szanse na to, że gaz nie będzie zbliżone do tego rozkładu, stają się coraz większe mały). I wreszcie wszystkie stany energetyczne są jednakowo prawdopodobne.

Te statystyki działają, ponieważ jest bardzo mało prawdopodobne, aby jakakolwiek cząsteczka miała energię znacznie powyżej średniej. Gdyby tak było, pozostawiłoby to o wiele mniej sposobów na dystrybucję reszty całkowitej energii. Sprowadza się to do gry liczbowej – ponieważ istnieje znacznie więcej stanów energetycznych, w których cząstka nie przekracza średniej, prawdopodobieństwo, że system będzie w takim stanie, jest znikome.

Jednak energie niższe od średniej są bardziej prawdopodobne, ponownie ze względu na to, jak prawdopodobieństwa się rozgrywają. Ponieważ każdy ruch jest uważany za przypadkowy i istnieje większa liczba sposobów, w jakie cząstka może znaleźć się w stanie niskiej energii, te stany są preferowane.

Rozkład Maxwella-Boltzmanna to rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego. Ta funkcja rozkładu prędkości może być wyprowadzona ze statystyk Maxwella-Boltzmanna i wykorzystana do określenia zależności między ciśnieniem, objętością i temperaturą.

Rozkład prędkościvwyraża się wzorem:

Gdziemto masa cząsteczki.

Powiązana krzywa rozkładu, z funkcją rozkładu prędkości natak-osi i prędkości molekularnej nax-osi, wygląda z grubsza jak asymetryczna krzywa normalna z dłuższym ogonem po prawej stronie. Ma wartość szczytową przy najbardziej prawdopodobnej prędkościv_p, oraz średnią prędkość wyrażoną przez:

Zauważ też, że ma długi, wąski ogon. Krzywa zmienia się nieznacznie w różnych temperaturach, a długi ogon staje się „grubszy” w wyższych temperaturach.

Użyj relacji:

Gdziemi_intto energia wewnętrzna,KE​_{​średni​} jest średnią energią kinetyczną na cząsteczkę z rozkładu Maxwella-Boltzmanna. Wraz z prawem gazu doskonałego, możliwe jest wyznaczenie zależności między ciśnieniem i objętością w odniesieniu do ruchu molekularnego: