Prawo gazu doskonałego: definicja, wzór i przykłady

Jednym z najbardziej fundamentalnych praw termodynamiki jest prawo gazu doskonałego, które pozwala naukowcom przewidywać zachowanie gazów spełniających określone kryteria.

Mówiąc najprościej, gaz doskonały to teoretycznie gaz doskonały, który ułatwia matematykę. Ale jaka matematyka? Cóż, rozważmy, że gaz składa się z niewiarygodnie dużej liczby atomów lub cząsteczek, które mogą się swobodnie przemieszczać obok siebie.

Pojemnik z gazem jest jak pojemnik z tysiącami maleńkich kulek, które przepychają się i odbijają od siebie. I oczywiście dość łatwo jest zbadać zderzenie tylko dwóch takich cząstek, ale śledzenie każdej z nich jest praktycznie niemożliwe. Więc jeśli każda cząsteczka gazu działa jak niezależna cząstka, jak możesz zrozumieć działanie gazu jako całości?

Kinetyczna teoria gazów zapewnia ramy do zrozumienia, jak zachowuje się gaz. Jak opisano w poprzedniej sekcji, gaz można traktować jako zbiór dużej liczby bardzo małych cząstek, które podlegają ciągłemu, szybkiemu ruchowi.

Teoria kinetyczna traktuje ten ruch jako losowy, ponieważ jest wynikiem wielu szybkich zderzeń, co czyni go zbyt trudnym do przewidzenia. Traktując ten ruch jako losowy i wykorzystując mechanikę statystyczną można wyprowadzić wyjaśnienie makroskopowych właściwości gazu.

Okazuje się, że można całkiem dobrze opisać gaz za pomocą zestawu zmiennych makroskopowych, zamiast śledzić każdą cząsteczkę z osobna. Te makroskopowe zmienne obejmują temperaturę, ciśnienie i objętość.

Jak te tzw.zmienne stanuodnosić się do siebie zależy od właściwości gazu.

Zmienne stanu to wielkości opisujące stan złożonego układu dynamicznego, takiego jak gaz. Gazy są często opisywane przez zmienne stanu, takie jak ciśnienie, objętość i temperatura.

Ciśnienie definiuje się jako siłę na jednostkę powierzchni. Ciśnienie gazu to siła na jednostkę powierzchni, jaką wywiera na jego pojemnik. Siła ta jest wynikiem wszystkich mikroskopijnych zderzeń zachodzących w gazie. Gdy cząsteczki gazu odbijają się od ścian pojemnika, wywierają siłę. Im większa średnia energia kinetyczna na cząsteczkę i im większa liczba cząsteczek w danej przestrzeni, tym większe będzie ciśnienie. Jednostkami ciśnienia w układzie SI są niutony na metr lub paskale.

Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej na cząsteczkę. Jeśli myślimy, że wszystkie cząsteczki gazu są małymi punktami poruszającymi się dookoła, to temperatura gazu jest średnią energią kinetyczną tych małych punktów.

Wyższa temperatura odpowiada szybszemu ruchowi losowemu, a niższa odpowiada wolniejszemu ruchowi. Jednostką temperatury w układzie SI jest kelwin, gdzie zero bezwzględne kelwin jest temperaturą, w której ustaje wszelki ruch. 273,15 K to zero stopni Celsjusza.

Objętość gazu jest miarą zajmowanej przestrzeni. Jest to po prostu wielkość pojemnika, w którym zamknięty jest gaz, mierzona w metrach sześciennych.

Te zmienne stanu wynikają z kinetycznej teorii gazów, która pozwala na zastosowanie statystyki do ruchu molekuły i wyprowadzić te wielkości z takich rzeczy, jak pierwiastek średniej kwadratowej prędkości molekuł itd na.

Gaz idealny to gaz, dla którego można poczynić pewne upraszczające założenia, które pozwalają na łatwiejsze zrozumienie i obliczenia.

W gazie idealnym traktuje się cząsteczki gazu jako cząstki punktowe oddziałujące w idealnie sprężystych zderzeniach. Zakładasz również, że wszystkie są stosunkowo daleko od siebie i że siły międzycząsteczkowe można zignorować.

W standardowej temperaturze i ciśnieniu (stp) większość rzeczywistych gazów zachowuje się idealnie, a ogólnie gazy są najbardziej idealne w wysokich temperaturach i niskich ciśnieniach. Po założeniu „idealności” możesz zacząć przyglądać się zależnościom między ciśnieniem, objętością i temperaturą, jak opisano w kolejnych sekcjach. Te relacje doprowadzą ostatecznie do samego prawa gazu doskonałego.

Prawo Boyle'a mówi, że przy stałej temperaturze i ilości gazu ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości. Matematycznie jest to reprezentowane jako:

GdziePjest presja,Vto objętość, a indeksy wskazują wartości początkowe i końcowe.

Jeśli zastanowisz się przez chwilę nad teorią kinetyczną i definicją tych zmiennych stanu, to ma sens, dlaczego to prawo powinno obowiązywać. Ciśnienie to wielkość siły na jednostkę powierzchni na ściankach pojemnika. Zależy to od średniej energii na cząsteczkę, ponieważ cząsteczki zderzają się z pojemnikiem i jak gęsto upakowane są te cząsteczki.

Rozsądne wydaje się założenie, że jeśli objętość pojemnika zmniejszy się, a temperatura pozostanie stała, to całkowita siła wywierana przez cząsteczki powinna pozostać taka sama, ponieważ jest ich taka sama liczba i taka sama w energię. Jednakże, ponieważ ciśnienie jest siłą na jednostkę powierzchni, a powierzchnia pojemnika się skurczyła, ciśnienie powinno odpowiednio wzrosnąć.

Być może nawet byłeś świadkiem tego prawa w swoim codziennym życiu. Czy zauważyłeś kiedyś, że częściowo napompowany balon z helem lub paczka chipsów ziemniaczanych wydaje się znacznie rozszerzać/nadmuchiwać, gdy wznosisz się w górę? Dzieje się tak dlatego, że chociaż temperatura mogła się nie zmienić, ciśnienie powietrza na zewnątrz spadło i stąd balon lub worek mógł się rozszerzać, aż ciśnienie wewnątrz było takie samo jak ciśnienie na zewnątrz. To niższe ciśnienie odpowiadało większej objętości.

Prawo Charlesa mówi, że przy stałym ciśnieniu objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury. Matematycznie jest to:

GdzieVto głośność iTjest temperatura.

Ponownie, jeśli weźmiesz pod uwagę teorię kinetyczną, jest to rozsądna zależność. Zasadniczo stwierdza, że ​​spadek objętości będzie odpowiadał spadkowi temperatury, jeśli ciśnienie ma pozostać stałe. Ciśnienie jest siłą na jednostkę powierzchni, a zmniejszenie objętości zmniejsza powierzchnię pojemnika, więc in aby ciśnienie pozostało takie samo przy zmniejszeniu objętości, całkowita siła również musi zmniejszać. Stałoby się tak tylko wtedy, gdyby cząsteczki miały niższą energię kinetyczną, co oznacza niższą temperaturę.

To prawo mówi, że przy stałej objętości ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury. Lub matematycznie:

Ponieważ ciśnienie jest siłą na jednostkę powierzchni, jeśli powierzchnia pozostaje stała, jedynym sposobem na zwiększenie siły jest szybsze poruszanie się cząsteczek i mocniejsze zderzenie z powierzchnią pojemnika. Tak więc temperatura wzrasta.

Połączenie trzech poprzednich praw daje prawo gazu doskonałego poprzez następujące wyprowadzenie. Zastanów się, że prawo Boyle'a jest równoważne ze stwierdzeniemPV= stała, prawo Karola jest równoważne stwierdzeniuV/T= stała, a prawo Guy-Lussaca jest równoważne stwierdzeniuP/T= stała. Biorąc iloczyn trzech zależności, otrzymujemy:

Lub:

Nic dziwnego, że wartość stałej zależy od liczby cząsteczek w próbce gazu. Może być wyrażona jako stała =nRgdzienieto liczba moli iRjest uniwersalną stałą gazową (R= 8,3145 J/mol K) lub jako stała =NkgdzieNto liczba cząsteczek ikjest stałą Boltzmanna (k = 1.38066 × 10^-23 J/K). Stąd ostateczna wersja prawa gazu doskonałego jest wyrażona:

Ta relacja jest równaniem stanu.

• Mol materiału zawiera liczbę cząsteczek Avogadro. Liczba Avogadro = 6.0221367 × 10²³/mol

​Przykład 1:Duży balon wypełniony helem służy do podnoszenia sprzętu naukowego na większą wysokość. Na poziomie morza temperatura wynosi 20 C, a na wyższych wysokościach -40 C. Jeśli objętość zmienia się dziesięciokrotnie wraz ze wzrostem, jakie jest jego ciśnienie na większej wysokości? Załóżmy, że ciśnienie na poziomie morza wynosi 101 325 Pa.

​Rozwiązanie:Prawo gazu doskonałego, nieco przepisane, można interpretować jakoPV/T= stała lub:

Rozwiązywanie dlaP₂, otrzymujemy wyrażenie:

Przed podłączeniem liczb przelicz temperatury na kelwiny, więcT₁= 273,15 + 20 = 293,15 tys.,T₂= 273,15 – 40 = 233,15 tys. I chociaż nie podano Ci dokładnej objętości, wiesz, że stosunekV₁/V₂= 1/10. Tak więc ostateczny wynik to:

​Przykład 2:Znajdź liczbę moli w 1 m³ gazu w 300 K i poniżej 5 × 10⁷ Pa ciśnienia.

​Rozwiązanie:Przekształcając równanie gazu doskonałego, możesz rozwiązać zanie, liczba moli:

Wstawienie liczb daje wtedy:

Prawo Avogadro stanowi, że gazy o równych objętościach, ciśnieniu i temperaturze muszą mieć taką samą liczbę cząsteczek. Wynika to bezpośrednio z prawa gazu doskonałego.

Jeśli rozwiążesz równanie gazu doskonałego dla liczby cząsteczek, jak to zrobiono w jednym z przykładów, otrzymasz:

Jeśli więc wszystko po prawej stronie jest utrzymywane na stałym poziomie, istnieje tylko jedna możliwa wartość dlanie. Zauważ, że jest to szczególnie interesujące, ponieważ dotyczy każdego rodzaju gazu doskonałego. Możesz mieć dwa różne gazy, ale jeśli mają tę samą objętość, ciśnienie i temperaturę, zawierają tę samą liczbę cząsteczek.

Oczywiście istnieje wiele przypadków, w których gazy rzeczywiste nie zachowują się idealnie. Przypomnij sobie niektóre założenia dotyczące gazu doskonałego. Cząsteczki muszą być w stanie aproksymować jako cząstki punktowe, nie zajmujące zasadniczo miejsca, i nie mogą występować żadne siły międzycząsteczkowe.

Cóż, jeśli gaz jest wystarczająco sprężony (pod wysokim ciśnieniem), wtedy w grę wchodzi rozmiar cząsteczek, a interakcje między cząsteczkami stają się bardziej znaczące. Również w ekstremalnie niskich temperaturach energia cząsteczek może nie być wystarczająco wysoka, aby spowodować mniej więcej jednorodną gęstość w całym gazie.

Wzór zwany równaniem Van der Waalsa pomaga skorygować odchylenie danego gazu od ideału. Równanie to można wyrazić jako:

Jest to równanie stanu gazu doskonałego ze współczynnikiem korekcyjnym dodanym doPi kolejny współczynnik korygujący dodany doV. Stałazajest miarą siły przyciągania między cząsteczkami, orazbjest miarą wielkości cząsteczek. Przy niskich ciśnieniach ważniejsza jest korekcja w zakresie ciśnienia, a przy wysokich ciśnieniach ważniejsza jest korekcja w zakresie objętości.