Pęd kątowy: definicja, równanie, jednostki (z diagramami i przykładami)

Zastanów się nad sceną: Ty i przyjaciel, z powodu problemów, na które nie masz wpływu, stoicie na szczycie długiej, opadającej rampy. Każdy z was otrzymał piłkę o promieniu dokładnie 1 m. Powiedziano ci, że twój jest wykonany z jednolitego, przypominającego piankę materiału i waży 5 kg. Piłka Twojego przyjaciela również ma masę 5 kg, którą zweryfikujesz podręczną wagą.

Twój przyjaciel chce się z tobą założyć, że jeśli puścisz dwie kulki w tym samym czasie, twoja pierwsza spadnie na dno. Masz ochotę argumentować, że skoro kulki mają tę samą masę i ten sam promień (a co za tym idzie objętość), będą przyspieszane grawitacyjnie w dół rampy do tej samej prędkości podczas opadania. Ale coś powstrzymuje twój „pęd” obstawiania i nie bierzesz zakładu...

...mądrze, jak się okazuje. Choć na początku nie ma to sensu, piłka twojego przyjaciela, pozornie twoja bliźniaczka, schodzi po rampie wolniej niż twoja. Po zakończeniu eksperymentu żądasz demontażu kulek i zbadania ich pod kątem oznak oszustwa. Zamiast tego okazuje się, że 5 kg masy w piłce twojego przyjaciela zostało ograniczone do cienkiej skorupy na zewnątrz, z wewnętrznym zagłębieniem.

A co z opisaną powyżej konfiguracją przechyla wartość v na korzyść twojej kuli? Jak to się dzieje, tak jaksiłyzmienićpędobiektów zprędkość liniowa​, ​obróżkazmienićmoment pęduobiektów zprędkość kątowa​.

Sztywny toczący się obiekt ma zarówno liniowy moment pędu, jak i moment pędu, ponieważ jego środek masy porusza się ze stałą prędkością v (równą do prędkości stycznej kuli lub koła), każda inna część obiektu obraca się wokół tego środka masy z prędkością kątową ω.

Rozkład masy w obiekcie nie ma wpływu na jego liniowy moment pędu, ale znakomicie określa jego moment pędu. Czyni to poprzez „masową” (dla celów rotacyjnych) wielkość zwaną momentem bezwładności, wyższe wartości co oznacza zarówno większe trudności w obrocie przedmiotu, jak i większe trudności z zatrzymaniem tego, gdy już jest obracanie.

Moment pędu jest miarą trudności w zmianie ruchu obrotowego obiektu. Zależy od momentu bezwładności obiektu i jego prędkości kątowej. Pęd pędu jest wielkością zachowaną, co oznacza, że ​​suma momentów pędu cząstek w układzie zamkniętym jest zawsze taka sama, nawet jeśli suma pędów poszczególnych cząstek może się wahać.

Jak już wspomniano, moment pędu jest również funkcją rozkładu masy wokół osi. Aby uzyskać intuicyjne wyczucie tego, wyobraź sobie, że stoisz 1 stopę od środka ogromnej karuzeli, która wykonuje jeden obrót co 10 sekund. Teraz wyobraź sobie, że stoisz na tym samym urządzeniu o tej samej prędkości kątowej 1Milaod centrum. Nie potrzeba wiele wyobraźni, aby wyobrazić sobie różnicę w momencie pędu w tych dwóch scenariuszach.

​Kręt jest iloczynem momentu bezwładności pomnożonego przez jego prędkość kątową lub:
​

gdzieL= moment pędu w kg∙m²/s,ja= moment bezwładności w kg∙m², oraz ω = prędkość kątowa w radianach na sekundę (rad/s).

• ​janazywany jest także drugim momentem pola.

Zauważ, że dyskusja rozszerzyła się z masy punktowej do bryły, takiej jak walec lub kula, obracającej się wokół osi. Środek masy obiektu często nie znajduje się na swoimgeometrycznycentrum, więc wartościjazależą od tego, jak rozłożona jest masa obiektu. Często jest to symetryczne, ale niejednorodne, tak jak wydrążony krążek z całą swoją masą w cienkim pasku na zewnątrz (innymi słowy, pierścień).

Wektor momentu pędu wskazuje wzdłuż osi obrotu, prostopadłej do płaszczyzny utworzonej przezr, okrągły „przemiatanie” dowolnego punktu obiektu w przestrzeni.

Wykres referencyjny dla wartościjadla różnych typowych kształtów znajduje się w Zasobie. Użyj ich, aby rozpocząć rozwiązywanie kilku podstawowych problemów z momentem pędu.

• Zauważ, żejadla kulistej powłoki to (2/3)mr² podczas gdy kula to (2/5)mr². Wracając do zakładu we wstępie, możesz teraz zobaczyć, że piłka twojego przyjaciela ma (2/3)/(2/5) = 1,67 razy moment bezwładności jako twój własny, co wyjaśnia twoje zwycięstwo w „wyścigu”.

1. Dysk z bezwładnością obrotowąja1,5 kg∙m²/s obraca się wokół osi z prędkością kątowąω8 rad/s. Jaki jest jego moment pęduL​?

2. Cienki pręt o długości 15 m i masie 5 kg – powiedzmy wskazówka masywnego zegara – obraca się wokół punktu zamocowanego na jednym końcu z prędkością kątowąω2π rad/60 s = (π/30) rad/s. Jaki jest jego moment pęduL​?

Tym razem musisz sprawdzić wartośćja. Dla cienkiego pręta poruszającego się w ten sposób,ja= (1/3)mr²​.

Porównaj to z odpowiedzią w pierwszym przykładzie. Czy to cię dziwi? Dlaczego lub dlaczego nie?

„Ochrona” oznacza w fizyce coś innego niż w dziedzinie ekosystemów. Oznacza to po prostu, że całkowita ilość zachowanych wielkości (energia, pęd, masa i bezwładność są „wielka czwórka” zachowane wielkości w fizyce) w układzie, w tym we wszechświecie, zawsze pozostaje podobnie. Jeśli próbujesz „wyeliminować” energię, po prostu pojawia się ona w innej formie, a każda próba „stworzenia” jej opiera się na wcześniej istniejącym źródle.

Prawo zachowania momentu pędu mówi, że w układzie zamkniętym całkowity moment pędu nie może się zmienić. Ponieważ moment pędu zależy od prędkości kątowej i momentu bezwładności, można przewidzieć, jak każda z tych wielkości musi się następnie zmieniać względem siebie w danej sytuacji.

• Formalnie, ponieważ moment obrotowy można wyrazić jakoτ= dL/dt (szybkość zmian momentu pędu w czasie), gdy suma momentów w układzie wynosi zero, to dL/dt również musi wynosić zero i nie ma zmiany momentu pędu w systemie w przedziale czasowym, w którym system jest oceniany. I odwrotnie, jeśli L nie jest stałe, oznacza to brak równowagi momentów w układzie (tj.τ_nettojestnierówny zero).

Jest to ważna koncepcja w wielu przykładach mechaniki z życia codziennego. Klasycznym przykładem jest łyżwiarka: kiedy skacze w powietrzu, aby wykonać potrójną oś, mocno ściąga kończyny. Zmniejsza to jej całkowity promień wokół jej osi obrotu, zmieniając rozkład masy tak, że jej moment bezwładności maleje (pamiętaj,jajest proporcjonalna do mr²​).

Ponieważ jednak moment pędu jest zachowany, jeślijamaleje, jej prędkość kątowa musi wzrosnąć; w ten sposób kręci się wystarczająco szybko, aby wykonać kilka obrotów w powietrzu! Kiedy ląduje, robi odwrotnie – rozkłada kończyny, zmieniając rozkład masy, aby zwiększyć moment bezwładności, co z kolei spowalnia tempo rotacji (prędkość kątowa).

Przez cały czas moment pędu układu jest stały, ale zmiennymi, które określają wielkość momentu pędu, można manipulować, i to ze skutkiem strategicznym, jak w tym przypadku.

Począwszy od XVII wieku, Isaac Newton postanowił skutecznie zrewolucjonizować fizykę matematyczną. Dzięki współwynalezieniu rachunku różniczkowego miał dobrą pozycję do formułowania formalnych twierdzeń na temat przypuszczalnie uniwersalnych praw kierujące ruchem obiektów, zarówno translacyjnym (liniowo i w przestrzeni), jak i rotacyjnym (cyklicznie i około oś).

• Różnorodnyprawa ochronneo których później wiele wzmianki nie są pomysłami Newtona, ale istnieją znaczące związki między nimi a prawami ruchu.

​Pierwsze prawo Newtonastwierdza, że ​​obiekt w spoczynku lub poruszający się ze stałą prędkością pozostanie w tym stanie, chyba że na obiekt działa siła zewnętrzna. Nazywa się to równieżprawo bezwładności.​

​Drugie prawo Newtonatwierdzi, że siła nettofa_nettodziała na cząstkę o masiem, będzie miał tendencję do zmiany prędkości lub przyspieszenia tej masy. Ta słynna zależność jest wyrażona matematycznie jakofa_netto= mza​.

​Trzecie prawo Newtonamówi, że dla każdej siły, która istnieje w przyrodzie, istnieje siła o równej wielkości, ale skierowana dokładnie w przeciwnym kierunku. Prawo to ma ważne implikacje dla zachowanych właściwości ruchu, w tym momentu pędu.

Teraz jest doskonały czas, aby przyjrzeć się naturze, regułom i wzajemnym stosunkomsiła​, ​pęd(masa razy prędkość) ienergia, które informują nie tylko o pędzie pędu, ale o wszystkim innym w fizyce klasycznej.

Jak wspomniano, o ile na obiekt nie działa siła zewnętrzna (lub, w przypadku obiektu wirującego, zewnętrzny moment obrotowy), jego ruch jest kontynuowany bez wpływu. Jednak na Ziemi grawitacja jest praktycznie zawsze obecna, podobnie jak opór powietrza i różne rodzaje tarcia. siły, więc nic po prostu się nie porusza, chyba że od czasu do czasu otrzymuje energię, aby zastąpić to, co „pobiera” ten chroniczny „ruch”. złodzieje”.

Upraszczając, cząstka macałkowita energiaskładający się zenergia wewnętrzna(np. wibracje jego cząsteczek) ienergia mechaniczna. Energia mechaniczna to sumaenergia potencjalna(WP; "magazynowana" energia, zwykle poprzez grawitację) ienergia kinetyczna(CE; energia ruchu). Pomocnie, PE + KE + IE = stała dla wszystkich układów, czy to masa punktowa (pojedyncza cząstka), czy też różne śmigające, oddziałujące ze sobą masy.

Kiedy słyszysz terminy związane z ruchem, takie jak prędkość, przyspieszenie, przemieszczenie i pęd, prawdopodobnie domyślnie zakładasz, że kontekstem jest ruch liniowy. W rzeczywistości ruch obrotowy ma swoje unikalne, ale analogiczne wielkości.

Podczas gdy przemieszczenie liniowe jest mierzone w metrach (m) w jednostkach SI, przemieszczenie kątowe jest mierzone w radianach (2π rad = 360 stopni). Odpowiednio,prędkość kątowajest mierzony w rad/s i jest reprezentowany przezω, grecka litera omega.

Jednakże, gdy masa punktowa porusza się wokół własnej osi obrotu, oprócz prędkości kątowej, cząstka porusza się po torze kołowym z określoną prędkością, zbliżoną do ruchu liniowego. Ta stawka jestprędkość styczna​ ​v_t​​,i jest równe rω,gdzierto promień lub odległość od osi obrotu.

W związku z tymprzyspieszenie kątowe​ ​α(greckie alfa) to tempo zmian prędkości kątowejωi jest mierzony w rad/s². Istnieje równieżprzyspieszenie dośrodkowe​ ​za_dopodane przezv_t²/r,który jest skierowany do wewnątrz w kierunku osi obrotu.

• Omawiając moment pędu, odpowiednik mvw ujęciu liniowym zostanie wkrótce szczegółowo omówiony, wiedz, że jeden z jego elementów,ja, można traktować jako obrotowy odpowiednik masy.

Moment pędu, taki jak siła, przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie, to awielkość wektorowa, ponieważ takie zmienne obejmują zarówno awielkość(tj. liczba) i akierunek, często na podstawie poszczególnych składowych x-, y- i z-. Ilości, które zawierają tylko element liczbowy, taki jak masa, czas, energia i praca, są znane jakowielkości skalarne​.