Wszystkie ruchy oscylacyjne – ruch struny gitary, drganie pręta po uderzeniu czy podskakiwanie ciężarka na sprężynie – mają naturalną częstotliwość. Podstawowa sytuacja do obliczeń dotyczy masy na sprężynie, która jest prostym oscylatorem harmonicznym. W bardziej skomplikowanych przypadkach można dodać efekty tłumienia (spowolnienia oscylacji) lub zbudować szczegółowe modele z uwzględnieniem sił napędowych lub innych czynników. Jednak obliczenie częstotliwości drgań własnych dla prostego systemu jest łatwe.
Definicja naturalnej częstotliwości prostego oscylatora harmonicznego
Wyobraź sobie sprężynę z kulką przymocowaną na końcu masąm. Gdy zestaw jest nieruchomy, sprężyna jest częściowo rozciągnięta, a cały zestaw znajduje się w pozycja równowagi, w której naprężenie rozciągniętej sprężyny odpowiada sile grawitacji ciągnącej kulkę zniżkowy. Odsunięcie piłki od tej pozycji równowagi albo zwiększa napięcie sprężyny (jeśli rozciągasz ją w dół), albo daje grawitacja możliwość ściągnięcia kulki w dół bez przeciwdziałania temu naprężeniu sprężyny (jeśli popchniesz kulkę) w górę). W obu przypadkach kulka zaczyna oscylować wokół pozycji równowagi.
Częstotliwość drgań własnych to częstotliwość tej oscylacji mierzona w hercach (Hz). W ten sposób dowiesz się, ile drgań ma miejsce na sekundę, co zależy od właściwości sprężyny i masy przymocowanej do niej kulki. Szarpane struny gitary, pręty uderzane przez przedmiot i wiele innych systemów oscyluje z naturalną częstotliwością.
Obliczanie naturalnej częstotliwości
Poniższe wyrażenie definiuje częstotliwość drgań własnych prostego oscylatora harmonicznego:
f=\frac{\omega}{2\pi}
Gdzieωto częstotliwość kątowa oscylacji, mierzona w radianach/sekundę. Poniższe wyrażenie definiuje częstotliwość kątową:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
Oznacza to więc:
f=\frac{\sqrt{k/m}}{2\pi}
Tutaj,kjest stałą sprężystości dla danej sprężyny imto masa piłki. Stała sprężystości jest mierzona w niutonach/metr. Sprężyny o wyższych stałych są sztywniejsze i wymagają większej siły do wyciągnięcia.
Aby obliczyć częstotliwość drgań własnych przy użyciu powyższego równania, najpierw znajdź stałą sprężyny dla konkretnego systemu. Możesz znaleźć stałą sprężystości dla rzeczywistych systemów poprzez eksperymenty, ale w przypadku większości problemów otrzymujesz jej wartość. Wstaw tę wartość w miejsce dlak(w tym przykładziek= 100 N/m) i podzielić przez masę obiektu (na przykładm= 1 kg). Następnie wyciągnij pierwiastek kwadratowy z wyniku przed podzieleniem go przez 2π. Przechodząc przez kroki:
\begin{aligned} f&=\frac{\sqrt{k/m}}{2\pi}\\&=\frac{\sqrt{100/1}}{2\pi}\\&=\frac{ 10}{2\pi}\\&=1.6\text{ Hz}\end{wyrównany}
W tym przypadku częstotliwość drgań własnych wynosi 1,6 Hz, co oznacza, że system oscyluje nieco ponad półtora raza na sekundę.