Prawa ruchu wahadłowego

Wahadła mają interesujące właściwości, które fizycy wykorzystują do opisu innych obiektów. Na przykład orbita planety przebiega według podobnego wzoru, a kołysanie na huśtawce może sprawiać wrażenie, jakbyś był na wahadle. Te właściwości pochodzą z szeregu praw rządzących ruchem wahadła. Ucząc się tych praw, możesz zacząć rozumieć niektóre z podstawowych zasad fizyki i ruchu w ogóle.

Ruch wahadła można opisać za pomocą

w którymθreprezentuje kąt między struną a pionową linią w dół środka,treprezentuje czas iTjest okresem, czasem niezbędnym do wystąpienia jednego pełnego cyklu ruchu wahadła (mierzonego przez1/f) ruchu wahadła.

​Prosty harmonijmy ruch, czyli ruch, który opisuje, jak prędkość obiektu oscyluje proporcjonalnie do wielkości przemieszczenia od równowagi, może być użyty do opisania równania wahadła. Kołysanie się wahadła jest utrzymywane w ruchu dzięki tej sile działającej na nie podczas poruszania się w przód iw tył.

•••Syed Hussain Ather

Prawa rządzące ruchem wahadła doprowadziły do ​​odkrycia ważnej właściwości. Fizycy rozbijają siły na składową pionową i poziomą. W ruchu wahadłowymtrzy siły działają bezpośrednio na wahadło: masa boba, grawitacja i napięcie w strunie. Masa i grawitacja działają pionowo w dół. Ponieważ wahadło nie porusza się w górę ani w dół, pionowa składowa napięcia struny znosi masę i grawitację.

To pokazuje, że masa wahadła nie ma związku z jego ruchem, ale poziome naprężenie struny ma. Ruch harmoniczny prosty jest podobny do ruchu kołowego. Możesz opisać obiekt poruszający się po kołowej ścieżce, jak pokazano na powyższym rysunku, określając kąt i promień, jaki przyjmuje w odpowiadającej mu kołowej ścieżce. Następnie, korzystając z trygonometrii trójkąta prostokątnego pomiędzy środkiem okręgu, pozycją obiektu i przemieszczeniem w obu kierunkach x i y, można znaleźć równaniax = żywica (θ)iy = rcos (θ).​

Jednowymiarowe równanie obiektu w prostym ruchu harmonicznym jest podane przezx = r cos (ωt).Możesz dalej zastępowaćZAdlarw którymZAjestamplituda, maksymalne przemieszczenie od początkowej pozycji obiektu.

Prędkość kątowaωw odniesieniu do czasutdla tych kątówθjest dany przezθ = ωt. Jeśli podstawisz równanie, które wiąże prędkość kątową z częstotliwościąfa​, ​ω = 2​​πf, możesz sobie wyobrazić ten ruch kołowy, a następnie, jako część wahadła wahadłowego w przód iw tył, wynikowe równanie ruchu harmonicznego prostego

•••Syed Hussain Ather

Wahadła, jak masy na sprężynie, są przykładamiproste oscylatory harmoniczne: Istnieje siła przywracająca, która wzrasta w zależności od tego, jak przesunięte jest wahadło, a ich ruch można opisać za pomocąproste równanie oscylatora harmonicznego​

w którymθreprezentuje kąt między struną a pionową linią w dół środka,treprezentuje czas iTjestKropka, czas niezbędny do wystąpienia jednego pełnego cyklu ruchu wahadła (mierzony przez1/f) ruchu wahadła.

​θ_maksto kolejny sposób na określenie maksymalnego kąta oscylacyjnego podczas ruchu wahadła i jest to kolejny sposób na określenie amplitudy wahadła. Ten krok jest wyjaśniony poniżej w sekcji „Prosta definicja wahadła”.

Inną konsekwencją praw wahadła prostego jest to, że okres drgań o stałej długości jest niezależny od rozmiaru, kształtu, masy i materiału przedmiotu na końcu struny. Widać to wyraźnie poprzez proste wyprowadzenie wahadła i wynikające z tego równania.

Możesz wyznaczyć równanie dla aproste wahadło, definicja, która opiera się na prostym oscylatorze harmonicznym, z serii kroków zaczynających się od równania ruchu wahadła. Ponieważ siła grawitacji wahadła jest równa sile ruchu wahadła, możesz ustawić je sobie nawzajem, korzystając z drugiego prawa Newtona z masą wahadłaM, Długość łańcuchaL, kątθ,przyspieszenie grawitacyjnesoli przedział czasut​.

•••Syed Hussain Ather

Ustawiasz drugie prawo Newtona równe momentowi bezwładnościja=mr²dla jakiejś mszymii promień ruchu okrężnego (w tym przypadku długość struny)rrazy przyspieszenie kątoweα​.

1. ​ΣF = Ma: Drugie prawo Newtona mówi, że siła wypadkowaFna obiekcie jest równa masie obiektu pomnożonej przez przyspieszenie.
2. ​Ma = Ja α: Pozwala ustawić siłę przyspieszenia grawitacyjnego (-Mg grzech (θ)L)równa sile obrotu
   
3. ​-Mg grzech (θ)L = ja​: Możesz uzyskać kierunek siły pionowej spowodowanej grawitacją (-Mg) obliczając przyspieszenie jakogrzech (θ)Lgdybygrzech (θ) = d/Ldla pewnego przesunięcia poziomegorei kątθ​ aby uwzględnić kierunek.
   
4. ​-Mg grzech (θ)L = ML² α: Podstawisz równanie dla momentu bezwładności wirującego ciała używając długości struny L jako promienia.
   
5. ​-Mg sin (θ)L = -ML²​​re²/dt: Uwzględnij przyspieszenie kątowe przez podstawienie drugiej pochodnej kąta względem czasuα.Ten krok wymaga obliczeń i równań różniczkowych.
   
6. ​re²/dt² + (g/L)sinθ = 0: Możesz to uzyskać, zmieniając obie strony równania
   
7. ​re²/dt² + (g/l)θ = 0: Możesz przybliżyćgrzech (θ)tak jakθna potrzeby prostego wahadła przy bardzo małych kątach oscylacji
   
8. ​θ(t) = θ_makscos (t (L/g)²): Równanie ruchu ma to rozwiązanie. Możesz to zweryfikować, biorąc drugą pochodną tego równania i pracując, aby uzyskać krok 7.

Istnieją inne sposoby na proste wyprowadzenie wahadła. Zrozum znaczenie każdego kroku, aby zobaczyć, jak są one powiązane. Za pomocą tych teorii można opisać prosty ruch wahadła, ale należy również wziąć pod uwagę inne czynniki, które mogą mieć wpływ na prostą teorię wahadła.

Jeśli porównasz wynik tego wyprowadzenia

do równania prostego oscylatora harmonicznegoby ustawiając je sobie nawzajem, możesz wyprowadzić równanie na okres T:

Zauważ, że to równanie nie zależy od masyMwahadła, amplitudaθ_maks, ani na czast. Oznacza to, że okres jest niezależny od masy, amplitudy i czasu, ale zależy od długości struny. Daje zwięzły sposób wyrażania ruchu wahadłowego.

Za pomocą równania dla okresu możesz zmienić kolejność równania, aby uzyskać

i zastąp 1 sekTi9,8 m/s²dlasolpozyskaćL =0,0025 m Należy pamiętać, że te równania prostej teorii wahadła zakładają, że długość struny jest beztarciowa i bezmasowa. Uwzględnienie tych czynników wymagałoby bardziej skomplikowanych równań.

Możesz wyciągnąć kąt odchylenia wahadłaθpozwolić mu się kołysać w przód i w tył, aby zobaczyć, jak oscyluje jak sprężyna. Proste wahadło można opisać za pomocą równań ruchu prostego oscylatora harmonicznego. Równanie ruchu działa dobrze dla mniejszych wartości kąta iamplituda, maksymalny kąt, ponieważ prosty model wahadła opiera się na przybliżeniu, któregrzech (θ)​ ≈ ​θdla jakiegoś kąta wahadłaθ.Ponieważ wartości kątów i amplitud stają się większe niż około 20 stopni, to przybliżenie nie działa tak dobrze.

Wypróbuj sam. Wahadło kołyszące się z dużym kątem początkowymθnie będzie oscylować tak regularnie, aby można było użyć prostego oscylatora harmonicznego do jego opisania. Przy mniejszym początkowym kącieθ, wahadło znacznie łatwiej zbliża się do regularnego ruchu oscylacyjnego. Ponieważ masa wahadła nie ma wpływu na jego ruch, fizycy udowodnili, że wszystkie wahadła mają ten sam okres drgań kąty – kąt pomiędzy środkiem wahadła w najwyższym punkcie a środkiem wahadła w jego zatrzymanym położeniu – mniej niż 20 stopnie.

Dla wszystkich praktycznych celów wahadła w ruchu, wahadło w końcu zwolni i zatrzyma się z powodu tarcie pomiędzy cięciwą a jej punktem mocowania powyżej oraz z powodu oporu powietrza pomiędzy wahadłem a powietrzem dookoła tego.

W przypadku praktycznych przykładów ruchu wahadłowego okres i prędkość będą zależeć od rodzaju użytego materiału, który wywołałby te przykłady tarcia i oporu powietrza. Jeśli wykonasz obliczenia teoretycznego zachowania oscylacyjnego wahadła bez uwzględnienia tych sił, to uwzględni to oscylację wahadła w nieskończoność.

Pierwsze prawo Newtona definiuje prędkość obiektów w odpowiedzi na siły. Prawo mówi, że jeśli obiekt porusza się z określoną prędkością i po linii prostej, będzie nadal poruszał się z tą prędkością i po linii prostej, w nieskończoność, dopóki żadna inna siła nie będzie na niego oddziaływać. Wyobraź sobie rzucanie piłką prosto do przodu – piłka krążyłaby wokół ziemi w kółko, gdyby nie działał na nią opór powietrza i grawitacja. To prawo pokazuje, że ponieważ wahadło porusza się z boku na bok, a nie w górę iw dół, nie działają na niego żadne siły w górę iw dół.

Drugie prawo Newtona jest używane do określania siły wypadkowej na wahadle poprzez ustawienie siły grawitacji równej sile struny, która ciągnie się z powrotem na wahadle. Zrównanie tych równań umożliwia wyprowadzenie równań ruchu wahadła.

Trzecie prawo Newtona mówi, że każde działanie wywołuje reakcję o jednakowej sile. To prawo działa z pierwszym prawem pokazującym, że chociaż masa i grawitacja znoszą składową pionową wektora naprężenia struny, nic nie znosi składowej poziomej. To prawo pokazuje, że siły działające na wahadło mogą się nawzajem znosić.

Fizycy używają pierwszego, drugiego i trzeciego prawa Newtona, aby udowodnić, że poziome naprężenie struny porusza wahadło bez względu na masę czy grawitację. Prawa wahadła prostego są zgodne z ideami trzech praw dynamiki Newtona.