Pendula są dość powszechne w naszym życiu: być może widziałeś zegar dziadka z długim wahadłem, który powoli oscyluje w miarę upływu czasu. Zegar potrzebuje działającego wahadła, aby prawidłowo przesuwać tarcze na tarczy zegara, które wyświetlają czas. Jest więc prawdopodobne, że zegarmistrz musi zrozumieć, jak obliczyć okres wahadła.
Wzór na okres wahadłowy,T, jest dość proste:
T=\sqrt{\frac{L}{g}}
gdziesoljest przyspieszeniem grawitacyjnym iLto długość sznurka przymocowanego do boba (lub masy).
Wymiary tej ilości to jednostka czasu, taka jak sekundy, godziny lub dni.
Podobnie częstotliwość oscylacji,fa, jest 1/T, lub
f=\sqrt{\frac{g}{L}}
który mówi, ile oscylacji ma miejsce w jednostce czasu.
Msza nie ma znaczenia
Naprawdę interesującą fizyką stojącą za tym wzorem na okres wahadła jest to, że masa nie ma znaczenia! Gdy wzór na ten okres jest wyprowadzony z równania ruchu wahadła, zależność od masy boba znosi się. Choć wydaje się to sprzeczne z intuicją, należy pamiętać, że masa boba nie wpływa na okres wahadła.
...Ale to równanie działa tylko w szczególnych warunkach
Należy pamiętać, że ta formuła działa tylko dla „małych kątów”.
Czym więc jest mały kąt i dlaczego tak jest? Powód tego wynika z wyprowadzenia równania ruchu. Aby wyprowadzić tę zależność, konieczne jest zastosowanie aproksymacji małego kąta do funkcji: sinus odθ, gdzieθjest kątem skrętu w stosunku do najniższego punktu na jego trajektorii (zwykle stabilny punkt na dole łuku, który wytycza, gdy oscyluje tam i z powrotem).
Przybliżenie małego kąta można wykonać, ponieważ dla małych kątów sinusθjest prawie równaθ. Jeśli kąt oscylacji jest bardzo duży, aproksymacja przestaje obowiązywać i konieczne jest inne wyprowadzenie i równanie dla okresu wahadła.
W większości przypadków w fizyce wprowadzającej wystarczy równanie okresu.
Kilka prostych przykładów
Ze względu na prostotę równania i fakt, że z dwóch zmiennych w równaniu jedna jest stałą fizyczną, istnieje kilka łatwych zależności, które możesz trzymać w tylnej kieszeni!
Przyspieszenie grawitacji wynosi9,8 m/s2, więc dla wahadła o długości jednego metra okres wynosi
T=\sqrt{\frac{1}{9.8}}=0,32\text{ sekund}
Więc jeśli powiem ci, że wahadło ma 2 metry? Czy 4 metry? Wygodną rzeczą w zapamiętaniu tej liczby jest to, że możesz po prostu skalować ten wynik przez pierwiastek kwadratowy z liczbowego współczynnika wzrostu, ponieważ znasz okres dla jednego metra długości wahadło.
Więc dla wahadła o długości 1 milimetra? Pomnóż 0,32 sekundy przez pierwiastek kwadratowy z 10-3 metrów i to jest twoja odpowiedź!
Mierzenie okresu wahadła
Możesz łatwo zmierzyć okres wahadła, wykonując następujące czynności.
Skonstruuj swoje wahadło zgodnie z potrzebami, po prostu zmierz długość sznurka od punktu, w którym jest on przymocowany do wspornika, do środka masy boba. Możesz teraz użyć wzoru, aby obliczyć okres. Ale możemy również po prostu zmierzyć czas oscylacji (lub kilka, a następnie podzielić zmierzony czas przez liczbę zmierzonych oscylacji) i porównać to, co zmierzyłeś, z tym, co dała formuła.
Prosty eksperyment z wahadłem!
Innym prostym eksperymentem z wahadłem do wypróbowania jest użycie wahadła do pomiaru lokalnego przyspieszenia grawitacyjnego.
Zamiast używać średniej wartości9,8 m/s2, zmierz długość wahadła, zmierz okres, a następnie oblicz przyspieszenie grawitacyjne. Zabierz to samo wahadło na szczyt wzgórza i ponownie wykonaj pomiary.
Zauważysz zmianę? Jaką zmianę wysokości trzeba osiągnąć, aby zauważyć zmianę lokalnego przyspieszenia grawitacji? Wypróbuj to!