Projectiel bewegingverwijst naar de beweging van een deeltje dat wordt verleend met een beginsnelheid maar vervolgens wordt onderworpen aan geen andere krachten dan die van de zwaartekracht.
Dit omvat problemen waarbij een deeltje onder een hoek tussen 0 en 90 graden met de horizontaal wordt geslingerd, waarbij de horizontale meestal de grond is. Voor het gemak wordt aangenomen dat deze projectielen in de (x, ja) vliegtuig, metXvertegenwoordigen horizontale verplaatsing enjaverticale verplaatsing.
Het pad dat een projectiel aflegt, wordt zijn. genoemdtraject. (Merk op dat de gemeenschappelijke link in "projectiel" en "traject" de lettergreep "-ject" is, het Latijnse woord voor "gooien". Iemand uitwerpen is hem letterlijk eruit gooien.) Het punt van oorsprong van het projectiel in problemen waarin u het traject moet berekenen, wordt gewoonlijk verondersteld (0, 0) te zijn voor de eenvoud, tenzij anders verklaarde.
De baan van een projectiel is een parabool (of op zijn minst een deel van een parabool) als het deeltje wordt gelanceerd op een zodanige manier dat het een horizontale bewegingscomponent heeft die niet nul is, en er geen luchtweerstand is om de te beïnvloeden deeltje.
De kinematische vergelijkingen
De variabelen die van belang zijn in de beweging van een deeltje zijn de positiecoördinatenXenja, zijn snelheidv, en zijn versnellingeen, alles in relatie tot een bepaalde verstreken tijdtsinds het begin van het probleem (wanneer het deeltje wordt gelanceerd of vrijgegeven). Merk op dat het weglaten van massa (m) impliceert dat de zwaartekracht op aarde onafhankelijk van deze grootheid werkt.
Merk ook op dat deze vergelijkingen de rol van luchtweerstand negeren, die een weerstandskracht creëert die beweging tegenwerkt in echte aardse situaties. Deze factor wordt geïntroduceerd in mechanica-cursussen op een hoger niveau.
Variabelen met een subscript "0" verwijzen naar de waarde van die hoeveelheid op het momentt= 0 en zijn constanten; vaak is deze waarde 0 dankzij het gekozen coördinatensysteem, en de vergelijking wordt zo veel eenvoudiger. Versnelling wordt in deze problemen als constant beschouwd (en is in de y-richting en gelijk aan -g,of–9,8 m/s2, de versnelling als gevolg van de zwaartekracht nabij het aardoppervlak).
Horizontale beweging:
x=x_0+v_xt
- De voorwaarde
vXis de constante x-snelheid.
Verticale beweging:
y=y_0+((v_{0y}+v_y)/2) t\\ v_y=v_{0y}-gt\\ y=y_0+v_{0y}t-(1/2)gt^2\\ v_y^ 2=v_{0y}^2-2g (y-y_0)
Voorbeelden van projectielbeweging
De sleutel tot het kunnen oplossen van problemen met trajectberekeningen is te weten dat de horizontale (x) en verticale (y) componenten van beweging kan afzonderlijk worden geanalyseerd, zoals hierboven weergegeven, en hun respectievelijke bijdragen aan de totale beweging netjes opgeteld aan het einde van de probleem.
Projectielbewegingsproblemen tellen als vrije-valproblemen omdat, hoe de zaken er na verloop van tijd ook uitzient= 0, de enige kracht die op het bewegende object inwerkt, is de zwaartekracht.
- Houd er rekening mee dat, omdat de zwaartekracht naar beneden werkt, en dit wordt beschouwd als de negatieve y-richting, de waarde van versnelling -g is in deze vergelijkingen en problemen.
Trajectberekeningen
1. De snelste werpers in honkbal kunnen een bal gooien met iets meer dan 100 mijl per uur, of 45 m/s. Als een bal met deze snelheid verticaal omhoog wordt gegooid, hoe hoog zal hij dan komen en hoe lang duurt het voordat hij terugkeert naar het punt waarop hij werd losgelaten?
Hiervy0= 45 m/s, -g= –9,8 m/s, en de hoeveelheden van belang zijn de uiteindelijke hoogte, ofja,en de totale tijd terug naar de aarde. De totale tijd is een berekening in twee delen: tijd tot y en tijd terug tot y0 = 0. Voor het eerste deel van het probleem,vja,wanneer de bal zijn piekhoogte bereikt, is 0.
Begin met het gebruik van de vergelijkingvja2= v0j2 – 2g (y – y0)en het inpluggen van de waarden die je hebt:
0 = (45)^2 – (2)(9,8)(y – 0) = 2.025 – 19,6j\impliceert y=103,3\tekst{ m}
De vergelijkingvja = v0j – gtlaat zien dat de tijd t die dit kost (45/9,8) = 4,6 seconden is. Om de totale tijd te krijgen, voegt u deze waarde toe aan de tijd die de bal nodig heeft om vrij naar zijn startpunt te vallen. Dit wordt gegeven doory = y0 + v0jt – (1/2)gt2, waar nu, omdat de bal nog op het moment is voordat hij begint te dalen,v0j = 0.
Oplossen:
103.3=(1/2)gt^2\impliceert t=4.59\text{ s}
De totale tijd is dus 4,59 + 4,59 = 9,18 seconden. Het misschien verrassende resultaat dat elk "been" van de reis, op en neer, dezelfde tijd in beslag nam, onderstreept het feit dat zwaartekracht de enige kracht is die hier in het spel is.
2. De bereikvergelijking:Wanneer een projectiel met een snelheid wordt gelanceerdv0en een hoek θ met de horizontaal, het heeft aanvankelijke horizontale en verticale componenten van snelheidv0x = v0(cos ) env0j = v0(zonde ).
Omdatvja = v0j – gt, envja = 0 wanneer het projectiel zijn maximale hoogte bereikt, wordt de tijd tot maximale hoogte gegeven door t =v0j/g. Vanwege de symmetrie is de tijd die nodig is om terug te keren naar de grond (of y = y0) is gewoon 2t = 2v0j/g.
Ten slotte, deze te combineren met de relatie x =v0xt, de horizontale afgelegde afstand gegeven een lanceringshoek θ is
R=2\frac{v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}
(De laatste stap komt van de trigonometrische identiteit 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Aangezien sin2θ de maximale waarde van 1 heeft wanneer θ = 45 graden, maximaliseert het gebruik van deze hoek de horizontale afstand voor een gegeven snelheid bij
R=\frac{v_0^2}{g}