Een van de deugden van geometrie, vanuit het perspectief van een leraar, is dat het zeer visueel is. Je kunt bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras – een fundamentele bouwsteen van de geometrie – nemen en deze toepassen om een slakachtige spiraal te construeren met een aantal interessante eigenschappen. Dit bedrieglijk eenvoudige vaartuig wordt soms een vierkantswortelspiraal of Theodorus-spiraal genoemd en demonstreert wiskundige relaties op een opvallende manier.
Een snel overzicht van de stelling
De stelling van Pythagoras stelt dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan het kwadraat van de andere twee zijden. Wiskundig uitgedrukt betekent dat A kwadraat + B kwadraat = C kwadraat. Zolang u de waarden voor twee zijden van een rechthoekige driehoek kent, kunt u deze berekening gebruiken om tot een waarde voor de derde zijde te komen. De werkelijke maateenheid die u kiest, kan variëren van inches tot mijlen, maar de relatie blijft hetzelfde. Dat is belangrijk om te onthouden, want je zult niet altijd per se met een specifieke fysieke meting werken. U kunt een lijn van elke lengte definiëren als "1" voor berekeningsdoeleinden en vervolgens elke andere lijn uitdrukken door zijn relatie tot de door u gekozen eenheid. Zo werkt de spiraal.
De spiraal starten
Om een spiraal te construeren, maakt u een rechte hoek met zijden A en B van gelijke lengte, die de waarde "1" wordt. Maak vervolgens nog een rechthoekige driehoek met zijde C van uw eerste driehoek - de hypotenusa - als zijde A van de nieuwe driehoek. Houd zijde B dezelfde lengte op de door u gekozen waarde van 1. Herhaal hetzelfde proces opnieuw, met behulp van de hypotenusa van de tweede driehoek als de eerste zijde van de nieuwe driehoek. Er zijn 16 driehoeken nodig om helemaal rond te komen tot het punt waar de spiraal je startpunt zou gaan overlappen, waar de oude wiskundige Theodorus stopte.
De vierkantswortelspiraal
De stelling van Pythagoras vertelt ons dat de hypotenusa van de eerste driehoek de vierkantswortel van 2 moet zijn, omdat elke zijde een waarde van 1 heeft en 1 in het kwadraat nog steeds 1. Daarom heeft elke zijde een oppervlakte van 1 kwadraat, en als die worden opgeteld, is het resultaat 2 kwadraat. Wat de spiraal interessant maakt, is dat de hypotenusa van de volgende driehoek de vierkantswortel van 3 is, en die erna de vierkantswortel van 4 is, enzovoort. Daarom wordt het vaak een vierkantswortelspiraal genoemd in plaats van een Pythagoras-spiraal of Theodorus-spiraal. Praktisch gezien, als u van plan bent een spiraal te maken door op papier te tekenen of door papieren driehoeken te knippen en ze op een kartonnen achterkant, kunt u van tevoren berekenen hoe groot uw waarde van 1 kan zijn als de voltooide spiraal op de bladzijde. Je langste regel is de vierkantswortel van 17, ongeacht de waarde van 1 die je hebt gekozen. U kunt achteruit werken vanaf de grootte van uw pagina om een geschikte waarde van 1 te vinden.
De spiraal als leermiddel
De spiraal heeft een aantal toepassingen in klaslokalen of bijlessen, afhankelijk van de leeftijd van de studenten en hun bekendheid met de grondbeginselen van geometrie. Als je alleen de basisconcepten introduceert, is het maken van de spiraal een nuttige tutorial over de stelling van Pythagoras. U kunt ze bijvoorbeeld de berekeningen laten doen op basis van een waarde van 1 en vervolgens opnieuw een echte lengte in inches of centimeters gebruiken. De gelijkenis van de spiraal met een slakkenhuis biedt de mogelijkheid om de wiskundige manieren te bespreken relaties verschijnen in de natuurlijke wereld, en – voor jongere kinderen – leent zich voor kleurrijke decoratie schema's. Voor gevorderde studenten toont de spiraal een aantal intrigerende relaties terwijl deze door meerdere windingen voortgaat.
