Hoe vliegen vliegtuigen? Waarom volgt een curveball zo'n vreemd pad? En waarom moet je de?buitenvan uw ramen tijdens een storm? De antwoorden op al deze vragen zijn hetzelfde: ze zijn het resultaat van het principe van Bernoulli.
Het principe van Bernoulli, ook wel het Bernoulli-effect genoemd, is een van de belangrijkste resultaten in de studie van vloeistofdynamica, waarbij de snelheid van de vloeistofstroom wordt gerelateerd aan de vloeistofdruk. Dit lijkt misschien niet zo belangrijk, maar zoals blijkt uit het enorme scala aan fenomenen dat het helpt te verklaren, kan de eenvoudige regel veel onthullen over het gedrag van een systeem. Vloeistofdynamica is de studie van bewegende vloeistof, en daarom is het logisch dat het principe en de bijbehorende vergelijking (vergelijking van Bernoulli) vrij regelmatig in het veld voorkomen.
Leren over het principe, de vergelijking die het beschrijft en enkele voorbeelden van Bernoulli's principe in actie, bereidt je voor op veel problemen die je tegenkomt in de vloeistofdynamica.
Het principe van Bernoulli
Het principe van Bernoulli is vernoemd naar Daniel Bernoulli, de Zwitserse natuurkundige en wiskundige die het heeft ontwikkeld. Het principe relateert de vloeistofdruk aan zijn snelheid en hoogte, en het kan worden verklaard door het behoud van energie. Kort gezegd stelt het dat als de snelheid van een vloeistof toeneemt, ofwel de statische druk moet afnemen om te compenseren, of de potentiële energie moet afnemen.
De relatie met het behoud van energie is hieruit duidelijk: ofwel komt de extra snelheid voort uit de potentiaal energie (d.w.z. de energie die het bezit vanwege zijn positie) of van de interne energie die de druk van de vloeistof.
Het Bernoulli-principe verklaart daarom de belangrijkste redenen voor vloeistofstroming waarmee natuurkundigen rekening moeten houden in de vloeistofdynamica. Ofwel stroomt de vloeistof als gevolg van hoogte (dus verandert de potentiële energie) of stroomt vanwege druk verschillen in verschillende delen van de vloeistof (zodat vloeistoffen in de hoogenergetische zone met hogere druk naar de lage druk gaan) zone). Het principe is een zeer krachtig hulpmiddel omdat het de redenen combineert waarom vloeistof beweegt.
Het belangrijkste om uit het principe te halen is echter dat sneller stromende vloeistof een lagere druk heeft. Als je je dit herinnert, kun je de belangrijkste les uit het principe trekken, en dit alleen is voldoende om veel verschijnselen te verklaren, waaronder de drie in de inleidende paragraaf.
Vergelijking van Bernoulli
De Bernoulli-vergelijking zet het Bernoulli-principe in duidelijkere, meer kwantificeerbare termen. De vergelijking stelt dat:
P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{ constant overal}
HierPis de druk,ρis de dichtheid van de vloeistof,vis de vloeistofsnelheid,gis de versnelling als gevolg van de zwaartekracht enhis de hoogte of diepte. De eerste term in de vergelijking is gewoon de druk, de tweede term is de kinetische energie van de vloeistof per volume-eenheid en de derde term is de zwaartekracht potentiële energie per volume-eenheid voor de vloeistof. Dit wordt allemaal gelijkgesteld aan een constante, dus je kunt zien dat als je de waarde op een bepaald moment hebt en de waarde op een later moment tijd, kun je de twee gelijk aan elkaar instellen, wat een krachtig hulpmiddel blijkt te zijn voor het oplossen van vloeistofdynamica problemen:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2
Het is echter belangrijk om de beperkingen van de vergelijking van Bernoulli op te merken. In het bijzonder gaat het ervan uit dat er een stroomlijn is tussen de punten 1 en 2 (de delen die door de subscripts zijn gelabeld), er is een gestage stroom, er is geen wrijving in de stroming (vanwege de viscositeit in de vloeistof of tussen de vloeistof en de zijkanten van de leiding) en dat de vloeistof een constante dichtheid. Dit is over het algemeen niet het geval, maar voor een langzame vloeistofstroom die kan worden beschreven als laminaire stroming, zijn de benaderingen van de vergelijking geschikt.
Toepassingen van het principe van Bernoulli - een buis met een vernauwing
Het bekendste voorbeeld van het principe van Bernoulli is dat van een vloeistof die door een horizontale pijp stroomt, die in het midden smaller wordt en dan weer opengaat. Dit is gemakkelijk uit te werken met het principe van Bernoulli, maar je moet ook gebruik maken van de continuïteitsvergelijking om het uit te werken, die stelt:
ρA_1v_1= ρA_2v_2
Dit gebruikt dezelfde termen, afgezien van:EEN, wat staat voor het dwarsdoorsnede-oppervlak van de buis, en aangezien de dichtheid op beide punten gelijk is, kunnen deze termen voor deze berekening worden genegeerd. Herschik eerst de continuïteitsvergelijking om een uitdrukking te geven voor de snelheid in het vernauwde gedeelte:
v_2=\frac{A_1v_1}{A_2}
Dit kan dan in de vergelijking van Bernoulli worden ingevoegd om de druk in het kleinere gedeelte van de pijp op te lossen:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \\ P_1 + \frac{1}{2 } \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho \bigg(\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 + \rho gh_2
Dit kan opnieuw worden geregeld voorP2, erop wijzend dat in dit gevalh1 = h2, en dus vervalt de derde term aan elke kant.
P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho \bigg( v_1^2 - \bigg (\frac{A_1v_1}{A_2} \bigg)^2 \bigg)
Gebruikmakend van de dichtheid van water bij 4 graden Celsius,ρ= 1000 kg/m3, de waarde vanP1 = 100 kPa, de beginsnelheid vanv1 = 1,5 m/s, en oppervlakten vanEEN1 = 5.3 × 10−4 m2 enEEN2 = 2.65 × 10−4 m2. Dit geeft:
\begin{uitgelijnd} P_2 &= 10^5 \text{ Pa} + \frac{1}{2} × 1000 \text{ kg/m}^3 \bigg( (1,5 \text{ m/s})^ 2 - \big (\frac{5.3 × 10^{−4} \text{ m}^2 × 1.5 \text{ m/s}}{2.65 × 10^{−4} \text{ m}^2 } \bigg)^2 \bigg) \\ &= 9,66 × 10^4 \tekst{ Pa} \end{uitgelijnd}
Zoals voorspeld door het principe van Bernoulli, neemt de druk af wanneer de snelheid van de vernauwende pijp toeneemt. Het berekenen van het andere deel van dit proces omvat in feite hetzelfde, behalve in omgekeerde volgorde. Technisch gezien zal er wat verlies zijn tijdens de vernauwing, maar voor een vereenvoudigd systeem waarbij je geen rekening hoeft te houden met viscositeit, is dit een acceptabel resultaat.
Andere voorbeelden van het principe van Bernoulli
Enkele andere voorbeelden van Bernoulli's principe in actie kunnen helpen om de concepten te verduidelijken. Het meest bekende is dat het voorbeeld afkomstig is uit de aerodynamica en de studie van het ontwerp van vliegtuigvleugels, of vleugelprofielen (hoewel er enkele kleine meningsverschillen zijn over de details).
Het bovenste deel van een vliegtuigvleugel is gebogen terwijl de onderkant plat is, en omdat de luchtstroom van de ene rand van de vleugel naar de andere in gelijke tijdsperioden, dit leidt tot een lagere druk op de bovenkant van de vleugel dan op de onderkant van de vleugel. Het bijbehorende drukverschil (volgens het principe van Bernoulli) creëert de liftkracht die het vliegtuig lift geeft en helpt om van de grond te komen.
Waterkrachtcentrales zijn ook afhankelijk van het Bernoulli-principe om te werken, op twee manieren. Ten eerste, in een hydro-elektrische dam, stroomt water uit een reservoir door enkele grote buizen die penstocks worden genoemd, voordat het aan het einde een turbine raakt. In termen van de vergelijking van Bernoulli neemt de potentiële energie van de zwaartekracht af naarmate het water door de pijp stroomt, maar in veel ontwerpen verlaat het water dedezelfdesnelheid. Door de vergelijking is het duidelijk dat er een drukverandering moet zijn geweest om de vergelijking in evenwicht te brengen, en inderdaad, dit type turbine haalt zijn energie uit de drukenergie in de vloeistof.
Ongetwijfeld een eenvoudiger type turbine om te begrijpen, wordt een impulsturbine genoemd. Dit werkt door de buis vóór de turbine te verkleinen (met behulp van een mondstuk), waardoor de snelheid van het water (volgens de continuïteitsvergelijking) en vermindert de druk (volgens Bernoulli's beginsel). De overdracht van energie komt in dit geval van de kinetische energie van het water.
