Hoe bolvormigheid te berekenen

Bij het vergelijken van theoretische modellen van hoe dingen werken met toepassingen in de echte wereld, benaderen natuurkundigen vaak de geometrie van objecten met behulp van eenvoudigere objecten. Dit kan het gebruik van dunne cilinders zijn om de vorm van een vliegtuig te benaderen of een dunne, massaloze lijn om de snaar van een slinger te benaderen.

Bolvormigheid geeft u een manier om te benaderen hoe dicht objecten bij de bol zijn. Je kunt bijvoorbeeld de bolvorm berekenen als een benadering van de vorm van de aarde, die in feite geen perfecte bol is.

Bij het vinden van sfericiteit voor een enkel deeltje of object, kunt u sfericiteit definiëren als de verhouding van het oppervlak gebied van een bol met hetzelfde volume als het deeltje of object tot het oppervlak van het deeltje zelf. Dit moet niet worden verward met Mauchly's Test of Sphericity, een statistische techniek om aannames binnen gegevens te testen.

Zet in wiskundige termen de bolvorm gegeven doorΨ("psi") is:

voor het volume van het deeltje of objectV_pen oppervlakte van het deeltje of objectEEN_p. Je kunt zien waarom dit het geval is door een paar wiskundige stappen te volgen om deze formule af te leiden.

Ten eerste vind je een andere manier om de oppervlakte van een deeltje uit te drukken.

1. ​EEN_zo = 4πr​²: Begin met de formule voor het oppervlak van een bol in termen van zijn straalr​.
2. ​( 4πr²​ ​)​^{​3 ​}: Kubus door het tot de macht van 3 te brengen.
3. ​4³π​³​r​⁶: Verdeel de exponent 3 over de formule.
4. ​4π(​4²π²​r​⁶): Factor de4πdoor het buiten te plaatsen met haakjes.
   
5. ​4π x 3² (​​4²π​²​r​⁶ ​/​​3²): Factor uit3².​
   
6. ​36​​π (​​4π​​r​³​/3​​)​²: Bereken de exponent van 2 tussen haakjes om het volume van een bol te krijgen.
7. ​36πV_p²: Vervang de inhoud tussen haakjes door het volume van een bol voor een deeltje.
8. ​EEN_zo = (36V_p²)^1/3: Vervolgens kun je de derdemachtswortel van dit resultaat nemen, zodat je weer bij de oppervlakte bent.
9. 36^1/3​π​^1/3​V​_p^2/3: Verdeel de exponent van 1/3 over de inhoud tussen haakjes.
10. ​π​^1/3(6​V​_p)^2/3: Factor uit deπ​^1/3 uit het resultaat van stap 9. Dit geeft je een methode om oppervlakte uit te drukken.
    

Uit dit resultaat van een manier om oppervlakte uit te drukken, kun je de verhouding van de oppervlakte van een deeltje tot het volume van een deeltje herschrijven met

die is gedefinieerd alsΨ. Omdat het is gedefinieerd als een verhouding, is de maximale bolvorm die een object kan hebben één, wat overeenkomt met een perfecte bol.

U kunt verschillende waarden gebruiken om het volume van verschillende objecten te wijzigen om te zien hoe bolvormigheid meer afhankelijk is van bepaalde afmetingen of metingen in vergelijking met andere. Bij het meten van bolvormigheid van deeltjes, is het veel waarschijnlijker dat langwerpige deeltjes in één richting de bolvormigheid vergroten dan de ronding van bepaalde delen ervan te veranderen.

Met behulp van de vergelijking voor sfericiteit kunt u de sfericiteit van een cilinder bepalen. Je moet eerst het volume van de cilinder berekenen. Bereken vervolgens de straal van een bol die dit volume zou hebben. Zoek de oppervlakte van deze bol met deze straal en deel deze door de oppervlakte van de cilinder.

Als u een cilinder heeft met een diameter van 1 m en een hoogte van 3 m, kunt u het volume berekenen als het product van de oppervlakte van de basis en de hoogte. Dit zou zijn

Omdat het volume van een bol isV = 4πr³/3, kun je de straal van dit volume berekenen als

Voor een bol met dit volume zou deze een straal hebben r =(2,36 m³ x (3/4​​π)​​)^1/3 = 0,83 meter.​

Het oppervlak van een bol met deze straal zou zijnA = 4πr²of 4r²of 8,56 m³. De cilinder heeft een oppervlakte van 11,00 m² gegeven doorA = 2(πr​²​) + 2πr x h, wat de som is van de oppervlakten van de cirkelvormige basissen en de oppervlakte van het gekromde oppervlak van de cilinder. Dit geeft een bolvormΨvan 0,78 uit de verdeling van het oppervlak van de bol met het oppervlak van de cilinder.

U kunt dit stapsgewijze proces versnellen waarbij het volume en het oppervlak van een cilinder naast het volume en het oppervlak worden gebruikt zijn van een bol met behulp van computationele methoden die deze variabelen een voor een veel sneller kunnen berekenen dan een mens kan. Het uitvoeren van computergebaseerde simulaties met behulp van deze berekeningen is slechts één toepassing van bolvormigheid.

Bolvormigheid is ontstaan ​​in de geologie. Omdat deeltjes de neiging hebben om onregelmatige vormen aan te nemen met moeilijk te bepalen volumes, heeft geoloog Hakon Wadell een meer toepasselijke definitie gemaakt die gebruikt de verhouding van de nominale diameter van het deeltje, de diameter van een bol met hetzelfde volume als een korrel, tot de diameter van de bol die zou omvatten het.

Hierdoor creëerde hij het concept van bolvormigheid dat naast andere metingen zoals rondheid kan worden gebruikt bij het evalueren van de eigenschappen van fysieke deeltjes.

Naast het bepalen hoe dicht theoretische berekeningen bij voorbeelden uit de echte wereld liggen, heeft sfericiteit een aantal andere toepassingen. Geologen bepalen de bolvorm van sedimentaire deeltjes om erachter te komen hoe dicht ze bij bollen zijn. Van daaruit kunnen ze andere grootheden berekenen, zoals de krachten tussen deeltjes, of simulaties uitvoeren van deeltjes in verschillende omgevingen.

Met deze computergebaseerde simulaties kunnen geologen experimenten ontwerpen en kenmerken van de aarde bestuderen, zoals de beweging en rangschikking van vloeistoffen tussen sedimentaire gesteenten.

Geologen kunnen bolvormigheid gebruiken om de aerodynamica van vulkanische deeltjes te bestuderen. Driedimensionale laserscanning- en scanning-elektronenmicroscooptechnologieën hebben de bolvorm van vulkanische deeltjes direct gemeten. Onderzoekers kunnen deze resultaten vergelijken met andere methoden om bolvormigheid te meten, zoals de werkende bolvormigheid. Dit is de bolvorm van een tetradecaëder, een veelvlak met 14 vlakken, uit de vlakheid en rekverhoudingen van de vulkanische deeltjes.

Andere methoden voor het meten van bolvormigheid omvatten het benaderen van de cirkelvormigheid van de projectie van een deeltje op een tweedimensionaal oppervlak. Deze verschillende metingen kunnen onderzoekers nauwkeurigere methoden geven om de fysieke eigenschappen van deze deeltjes te bestuderen wanneer ze uit vulkanen worden vrijgegeven.

De toepassingen voor andere velden zijn ook vermeldenswaard. Met name computergebaseerde methoden kunnen andere kenmerken van het sedimentaire materiaal onderzoeken, zoals porositeit, connectiviteit en rondheid naast bolvormigheid om de fysieke eigenschappen van objecten te evalueren, zoals de mate van osteoporose van de mens botten. Het laat wetenschappers en ingenieurs ook bepalen hoe nuttig biomaterialen kunnen zijn voor implantaten.

Wetenschappers die nanodeeltjes bestuderen, kunnen de grootte en bolvorm van siliciumnanokristallen meten om erachter te komen hoe ze kunnen worden gebruikt in opto-elektronische materialen en op silicium gebaseerde lichtzenders. Deze kunnen later worden gebruikt in verschillende technologieën zoals bio-imaging en medicijnafgifte.