De Schrodinger-vergelijking is de meest fundamentele vergelijking in de kwantummechanica, en leren hoe deze te gebruiken en wat het betekent, is essentieel voor elke beginnende natuurkundige. De vergelijking is vernoemd naar Erwin Schrödinger, die in 1933 samen met Paul Dirac de Nobelprijs won voor hun bijdragen aan de kwantumfysica.
De vergelijking van Schrödinger beschrijft de golffunctie van een kwantummechanisch systeem, wat geeft: probabilistische informatie over de locatie van een deeltje en andere waarneembare grootheden zoals zijn momentum. Het belangrijkste dat je je realiseert over kwantummechanica nadat je over de vergelijking hebt geleerd, is dat de wetten in het kwantumrijk zijn:heel andersvan die van de klassieke mechanica.
De golffunctie
De golffunctie is een van de belangrijkste concepten in de kwantummechanica, omdat elk deeltje wordt weergegeven door een golffunctie. Het wordt meestal gegeven met de Griekse letter psi (Ψ), en het hangt af van positie en tijd. Als je een uitdrukking hebt voor de golffunctie van een deeltje, vertelt het je alles wat er bekend kan worden het fysieke systeem, en verschillende waarden voor waarneembare grootheden kunnen worden verkregen door een operator toe te passen op: het.
Het kwadraat van de modulus van de golffunctie vertelt je de kans om het deeltje op een positie te vindenXOp een gegeven momentt. Dit is alleen het geval als de functie "genormaliseerd" is, wat betekent dat de som van de kwadratenmodulus over alle mogelijke locaties gelijk moet zijn aan 1, d.w.z. dat het deeltjezekergelokaliseerd zijnergens.
Merk op dat de golffunctie alleen probabilistische informatie geeft, en dat je dus niet het resultaat van een enkele waarneming kunt voorspellen, hoewel jekanbepaal het gemiddelde over veel metingen.
U kunt de golffunctie gebruiken om de te berekenen“verwachtingswaarde”voor de positie van het deeltje op tijdt, waarbij de verwachtingswaarde de gemiddelde waarde is vanXu zou krijgen als u de meting vele malen zou herhalen.
Nogmaals, dit zegt niets over een bepaalde meting. In feite is de golffunctie meer een kansverdeling voor een enkel deeltje dan iets concreets en betrouwbaars. Door de juiste operator te gebruiken, kunt u ook verwachtingswaarden verkrijgen voor momentum, energie en andere waarneembare grootheden.
De Schrödinger-vergelijking
De Schrödingervergelijking is een lineaire partiële differentiaalvergelijking die de evolutie van a. beschrijft kwantumtoestand op een vergelijkbare manier als de wetten van Newton (met name de tweede wet) in klassieke in mechanica.
De Schrodinger-vergelijking is echter een golfvergelijking voor de golffunctie van het deeltje in kwestie, en dus het gebruik van de vergelijking om de toekomstige toestand te voorspellen van een systeem wordt soms "golfmechanica" genoemd. De vergelijking zelf is afgeleid van het behoud van energie en is opgebouwd rond een operator genaamd de Hamiltoniaan.
De eenvoudigste vorm van de Schrödinger-vergelijking om op te schrijven is:
H Ψ = iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Waar ℏ de gereduceerde constante van Planck is (d.w.z. de constante gedeeld door 2π) enHis de Hamiltoniaanse operator, die overeenkomt met de som van de potentiële energie en kinetische energie (totale energie) van het kwantumsysteem. De Hamiltoniaan is echter zelf een vrij lange uitdrukking, dus de volledige vergelijking kan worden geschreven als:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Merk op dat soms (voor expliciet driedimensionale problemen), de eerste partiële afgeleide wordt geschreven als de Laplace-operator ∇2. In wezen werkt de Hamiltoniaan op de golffunctie om zijn evolutie in ruimte en tijd te beschrijven. Maar in de tijdonafhankelijke versie van de vergelijking (d.w.z. wanneer het systeem niet afhankelijk is van)t), geeft de Hamiltoniaan de energie van het systeem.
Het oplossen van de Schrödinger-vergelijking betekent het vinden van dekwantummechanische golffunctiedat voldoet aan een bepaalde situatie.
De tijdafhankelijke Schrödinger-vergelijking
De tijdsafhankelijke Schrodinger-vergelijking is de versie uit de vorige paragraaf en beschrijft de evolutie van de golffunctie voor een deeltje in tijd en ruimte. Een eenvoudig geval om te overwegen is een vrij deeltje omdat de potentiële energieV= 0, en de oplossing heeft de vorm van een vlakke golf. Deze oplossingen hebben de vorm:
Ψ = Ae^{kx −ωt}
Waark = 2π / λ, λis de golflengte, enω = E / ℏ.
Voor andere situaties beschrijft het potentiële energiegedeelte van de oorspronkelijke vergelijking de randvoorwaarden voor de ruimtelijk deel van de golffunctie, en het wordt vaak gescheiden in een tijd-evolutiefunctie en een tijdonafhankelijke vergelijking.
De tijdonafhankelijke Schrödinger-vergelijking
Voor statische situaties of oplossingen die staande golven vormen (zoals de potentiaalbron, "particle in a box"-achtige oplossingen), kunt u de golffunctie scheiden in tijd- en ruimtedelen:
Ψ(x, t) = Ψ(x) f (t)
Als je dit volledig doorneemt, kan het tijdsgedeelte worden opgeheven, waardoor een vorm van de Schrödinger-vergelijking overblijft die:enkel en alleenhangt af van de positie van het deeltje. De tijdonafhankelijke golffunctie wordt dan gegeven door:
H Ψ(x) = E Ψ(x)
HierEis de energie van het kwantummechanische systeem, enHis de Hamiltoniaanse operator. Deze vorm van de vergelijking heeft de exacte vorm van een eigenwaardevergelijking, met de golffunctie zijnde de eigenfunctie, en de energie is de eigenwaarde wanneer de Hamiltoniaanse operator wordt toegepast ernaar toe. Uitbreiding van de Hamiltoniaan in een meer expliciete vorm, kan volledig worden geschreven als:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
Het tijdsdeel van de vergelijking zit in de functie:
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
Oplossingen voor de tijdonafhankelijke Schrödinger-vergelijking
De tijdonafhankelijke Schrödinger-vergelijking leent zich goed voor redelijk eenvoudige oplossingen omdat het de volledige vorm van de vergelijking inkort. Een perfect voorbeeld hiervan is de "particle in a box"-groep van oplossingen waarbij wordt aangenomen dat het deeltje zich in een oneindige vierkante potentiaalput in één dimensie bevindt, dus er is een nulpotentiaal (d.w.z.V= 0) overal, en er is geen kans dat het deeltje buiten de put wordt gevonden.
Er is ook een eindige vierkante put, waar de potentiaal aan de "wanden" van de put niet oneindig is en zelfs als deze hoger is dan de energie van het deeltje, is ersommigemogelijkheid om het deeltje daarbuiten te vinden vanwege kwantumtunneling. Voor de oneindige potentiaalbron hebben de oplossingen de vorm:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
WaarLis de lengte van de put.
Een deltafunctiepotentiaal is een zeer vergelijkbaar concept met de potentiaalput, behalve met de breedteLnaar nul gaan (d.w.z. oneindig klein zijn rond een enkel punt) en de diepte van de put naar oneindig, terwijl het product van de twee (U0) blijft constant. In deze zeer geïdealiseerde situatie is er maar één gebonden toestand, gegeven door:
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
Met energie:
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
Waterstofatoomoplossing voor de Schrödinger-vergelijking
Ten slotte heeft de waterstofatoomoplossing voor de hand liggende toepassingen in de natuurkunde in de echte wereld, maar in de praktijk is de situatie: want een elektron rond de kern van een waterstofatoom kan worden gezien als vergelijkbaar met de potentiaalbron problemen. De situatie is echter driedimensionaal en kan het best worden beschreven in bolcoördinatenr, θ, ϕ. De oplossing wordt in dit geval gegeven door:
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
WaarPzijn de Legendre-polynomen,Rzijn specifieke radiale oplossingen, enneeis een constante die u vaststelt met het feit dat de golffunctie moet worden genormaliseerd. De vergelijking levert energieniveaus op die worden gegeven door:
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
WaarZhier is het atoomnummer (dusZ= 1 voor een waterstofatoom),ein dit geval is de lading van een elektron (in plaats van de constante)e = 2.7182818...), ϵ0 is de permittiviteit van vrije ruimte, enμis de gereduceerde massa, die is gebaseerd op de massa's van het proton en het elektron in een waterstofatoom. Deze uitdrukking is goed voor elk waterstofachtig atoom, dat wil zeggen elke situatie (inclusief ionen) waarin er één elektron in een baan om een centrale kern draait.