Algebra zit vol met herhalende patronen die je elke keer met rekenen zou kunnen uitwerken. Maar omdat die patronen zo gewoon zijn, is er meestal een formule om de berekeningen gemakkelijker te maken. De kubus van een binomiaal is een goed voorbeeld: als je het elke keer zou moeten uitwerken, zou je veel tijd besteden aan het ploeteren met potlood en papier. Maar als je eenmaal de formule kent om die kubus op te lossen (en een paar handige trucs om hem te onthouden), is het vinden van je antwoord net zo eenvoudig als het inpluggen van de juiste termen in de juiste variabele vakjes.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
De formule voor de derde macht van een binomiaal (een + b) is:
(een + b)3 = een3 + 3_a_2b + 3_ab_2 + b3
De kubus van een binomiaal berekenen
U hoeft niet in paniek te raken als u een probleem ziet zoals (a + b)3 voor je. Als je het eenmaal hebt opgesplitst in de bekende componenten, begint het eruit te zien als meer bekende wiskundige problemen die je eerder hebt gedaan.
In dit geval helpt het om te onthouden dat:
(a + b)3
is hetzelfde als
(a + b)(a + b)(a + b), die er een stuk bekender uit zou moeten zien.
Maar in plaats van elke keer de wiskunde helemaal opnieuw uit te werken, kunt u de "snelkoppeling" gebruiken van een formule die het antwoord vertegenwoordigt dat u krijgt. Hier is de formule voor de kubus van een binomiaal:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Om de formule te gebruiken, identificeert u welke getallen (of variabelen) de slots voor "a" en "b" aan de linkerkant van de vergelijking, vervang dan diezelfde getallen (of variabelen) in de "a" en "b" sleuven aan de rechterkant van de formule.
Voorbeeld 1: Oplossen (x + 5)3
Zoals je kunt zien, X bezet de "a"-sleuf aan de linkerkant van uw formule en 5 neemt de "b"-sleuf in beslag. vervangen X en 5 aan de rechterkant van de formule geeft u:
X3 + 3x25 + 3x52 + 53
Een beetje vereenvoudigen brengt je dichter bij een antwoord:
X3 + 3(5)x2 + 3(25)x + 125
En tot slot, als je eenmaal zoveel mogelijk hebt vereenvoudigd:
X3 + 15x2 + 75x + 125
Hoe zit het met aftrekken?
Je hebt geen andere formule nodig om een probleem op te lossen zoals: (j - 3)3. Als je je dat herinnert y - 3 is hetzelfde als y + (-3), kunt u het probleem eenvoudig herschrijven naar: [y + (-3)]3 en los het op met uw vertrouwde formule.
Voorbeeld 2: Oplossen (j - 3)3
Zoals reeds besproken, is uw eerste stap om het probleem te herschrijven naar: [y + (-3)]3.
Onthoud vervolgens uw formule voor de kubus van een binomiaal:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Bij jouw probleem ja bezet de "a"-sleuf aan de linkerkant van de vergelijking, en -3 neemt de "b"-sleuf in beslag. Vervang deze door de juiste vakjes aan de rechterkant van de vergelijking, waarbij u goed oplet met uw haakjes om het minteken voor -3 te behouden. Dit geeft je:
ja3 + 3 jaar2(-3) + 3j(-3)2 + (-3)3
Nu is het tijd om te vereenvoudigen. Nogmaals, let goed op dat minteken wanneer u exponenten toepast:
ja3 + 3(-3)y2 + 3(9)y + (-27)
Nog een ronde van vereenvoudiging geeft je je antwoord:
ja3 - 9 jaar2 + 27j - 27
Pas op voor de som en het verschil van kubussen
Let altijd goed op waar de exponenten in uw probleem staan. Als u een probleem ziet in het formulier (a + b)3, of [a + (-b)]3, dan is de hier besproken formule geschikt. Maar als uw probleem lijkt op: (een3 + b3) of (een3 - b3), het is niet de kubus van een binomiaal. Het is de som van kubussen (in het eerste geval) of het verschil van kubussen (in het tweede geval), in welk geval u een van de volgende formules toepast:
(een3 + b3) = (a + b)(a2 - ab + b2)
(een3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)