Potentiële zwaartekrachtenergie: definitie, formule, eenheden (met voorbeelden)

De meeste mensen kennen het behoud van energie. In een notendop, het zegt dat energie wordt behouden; het wordt niet gemaakt en het wordt niet vernietigd, en het verandert eenvoudig van de ene vorm in de andere.

Dus als je een bal helemaal stil houdt, twee meter boven de grond, en hem dan loslaat, waar komt dan de energie vandaan? Hoe kan iets nog zoveel kinetische energie krijgen voordat het de grond raakt?

Het antwoord is dat de stilstaande bal een vorm van opgeslagen energie bezit, genaamdzwaartekracht potentiële energie, of kortweg GPE. Dit is een van de belangrijkste vormen van opgeslagen energie die een middelbare scholier in de natuurkunde zal tegenkomen.

GPE is een vorm van mechanische energie die wordt veroorzaakt door de hoogte van het object boven het aardoppervlak (of elke andere bron van een zwaartekrachtveld). Elk object dat zich niet op het laagste energiepunt in zo'n systeem bevindt, heeft enige zwaartekracht potentiële energie, en als, losgelaten (d.w.z. vrij laten vallen), zal het versnellen naar het centrum van het zwaartekrachtsveld totdat iets stopt het.

Hoewel het proces van het vinden van de gravitatie-potentiële energie van een object nogal is wiskundig eenvoudig, het concept is buitengewoon handig als het gaat om rekenen andere hoeveelheden. Als u bijvoorbeeld het concept van GPE leert kennen, wordt het heel eenvoudig om de kinetische energie en de uiteindelijke snelheid van een vallend object te berekenen.

GPE is afhankelijk van twee belangrijke factoren: de positie van het object ten opzichte van een zwaartekrachtveld en de massa van het object. Het massamiddelpunt van het lichaam dat het zwaartekrachtveld creëert (op aarde, het middelpunt van de planeet) is het laagste energiepunt in het veld (hoewel in de praktijk de lichaam stopt met vallen vóór dit punt, zoals het aardoppervlak doet), en hoe verder van dit punt een object is, hoe meer energie het heeft opgeslagen vanwege zijn positie. De hoeveelheid opgeslagen energie neemt ook toe als het object zwaarder is.

Je kunt de basisdefinitie van potentiële zwaartekrachtenergie begrijpen als je denkt aan een boek dat op een boekenplank ligt. Het boek heeft de potentie om op de grond te vallen vanwege de verhoogde positie ten opzichte van de grond, maar een die begint op de grond kan niet vallen, omdat het al aan de oppervlakte ligt: ​​het boek op de plank heeft GPE, maar dat op de grond niet.

Intuïtie zal je ook vertellen dat een boek dat twee keer zo dik is, twee keer zo hard zal bonzen als het de grond raakt; dit komt omdat de massa van het object recht evenredig is met de hoeveelheid potentiële zwaartekrachtenergie die een object heeft.

De formule voor zwaartekracht-potentiële energie (GPE) is heel eenvoudig en relateert massam, de versnelling als gevolg van de zwaartekracht op de aardeg) en hoogte boven het aardoppervlakhaan de opgeslagen energie als gevolg van de zwaartekracht:

Zoals gebruikelijk is in de natuurkunde, zijn er veel mogelijke verschillende symbolen voor zwaartekracht potentiële energie, waaronder:U​_g, ​PE​_zwaar en anderen. GPE is een maat voor energie, dus het resultaat van deze berekening is een waarde in joule (J).

De versnelling door de zwaartekracht van de aarde heeft overal op het oppervlak een (ongeveer) constante waarde en wijst rechtstreeks naar het massamiddelpunt van de planeet: g = 9,81 m/s². Gezien deze constante waarde, zijn de enige dingen die je nodig hebt om GPE te berekenen de massa van het object en de hoogte van het object boven het oppervlak.

Dus wat doe je als je moet berekenen hoeveel zwaartekracht potentiële energie een object heeft? In wezen kun je eenvoudig de hoogte van het object definiëren op basis van een eenvoudig referentiepunt (de grond werkt meestal prima) en dit vermenigvuldigen met zijn massamen de aardse zwaartekrachtconstantegom de GPE te vinden.

Stel je bijvoorbeeld een massa van 10 kg voor die op een hoogte van 5 meter boven de grond hangt aan een katrolsysteem. Hoeveel zwaartekracht potentiële energie heeft het?

Het gebruik van de vergelijking en het vervangen van de bekende waarden geeft:

Als je echter over het concept hebt nagedacht tijdens het lezen van dit artikel, heb je misschien een interessante vraag overwogen: als het zwaartekrachtpotentieel energie van een object op aarde is pas echt nul als het zich in het centrum van de massa bevindt (d.w.z. in de kern van de aarde), waarom bereken je het alsof het oppervlak van de aarde ish​ = 0?

De waarheid is dat de keuze van het "nulpunt" voor hoogte willekeurig is en meestal wordt gedaan om het probleem te vereenvoudigen. Telkens wanneer u GPE berekent, maakt u zich meer zorgen over de potentiële energie van de zwaartekrachtveranderingenin plaats van enige vorm van absolute meting van de opgeslagen energie.

In wezen maakt het niet uit of u besluit een tafelblad te noemenh= 0 in plaats van het aardoppervlak omdat je altijd bentwerkelijkpraten over veranderingen in potentiële energie gerelateerd aan veranderingen in hoogte.

Stel je dan eens voor dat iemand een natuurkundeboek van 1,5 kg van het oppervlak van een bureau optilt en het 50 cm (d.w.z. 0,5 m) boven het oppervlak optilt. Wat is de gravitationele potentiële energieverandering (aangeduid met ∆GPE) voor het boek als het wordt opgetild?

De truc is natuurlijk om de tafel het referentiepunt te noemen, met een hoogte vanh= 0, of gelijkwaardig, om rekening te houden met de verandering in hoogte (∆h) vanuit de beginpositie. In beide gevallen krijg je:

De precieze waarde voor zwaartekrachtversnellinggin de GPE-vergelijking heeft een grote invloed op de potentiële zwaartekrachtenergie van een object dat op een bepaalde afstand boven een bron van een zwaartekrachtveld is geheven. Op het oppervlak van Mars bijvoorbeeld is de waarde vangis ongeveer drie keer kleiner dan op het aardoppervlak, dus als je hetzelfde object hetzelfde optilt afstand van het oppervlak van Mars, zou het ongeveer drie keer minder opgeslagen energie hebben dan het zou hebben Aarde.

Evenzo, hoewel u de waarde van kunt benaderengals 9,81 m/s² over het aardoppervlak op zeeniveau, het is eigenlijk kleiner als je een aanzienlijke afstand van het oppervlak verwijdert. Als u bijvoorbeeld op een Mt. Everest, die 8.848 m (8.848 km) boven het aardoppervlak uitsteekt en zo ver verwijderd is van het massamiddelpunt van de planeet, zou de waarde vangeen beetje, dus je zou hebbeng= 9,79 m/s² op de top.

Als je met succes de berg had beklommen en een massa van 2 kg op 2 m van de top van de berg in de lucht had getild, wat zou dan de verandering in GPE zijn?

Zoals het berekenen van GPE op een andere planeet met een andere waarde vang, voer je gewoon de waarde in voorgdie bij de situatie past en hetzelfde proces doorloopt als hierboven:

Op zeeniveau op aarde, metg= 9,81 m/s², zou het optillen van dezelfde massa de GPE veranderen door:

Dit is geen enorm verschil, maar het laat duidelijk zien dat hoogte wel invloed heeft op de verandering in GPE wanneer u dezelfde tilbeweging uitvoert. En op het oppervlak van Mars, waarg= 3,75 m/s² het zou zijn:

Zoals je kunt zien, is de waarde vangis erg belangrijk voor het resultaat dat je krijgt. Door dezelfde hefbeweging in de verre ruimte uit te voeren, ver weg van enige invloed van de zwaartekracht, zou er in wezen geen verandering zijn in de potentiële energie van de zwaartekracht.

Het behoud van energie kan naast het concept van GPE worden gebruikt om te vereenvoudigenveelrekenen in de natuurkunde. Kortom, onder invloed van een "conservatieve" kracht blijft de totale energie (inclusief kinetische energie, zwaartekracht potentiële energie en alle andere vormen van energie) behouden.

Een conservatieve kracht is een kracht waarbij de hoeveelheid arbeid die wordt verricht tegen de kracht om een ​​object tussen twee punten te verplaatsen niet afhangt van het gevolgde pad. Zwaartekracht is dus conservatief omdat een object van een referentiepunt naar een hoogte wordt getildhverandert de zwaartekracht potentiële energie doormgh, maar het maakt niet uit of je het in een S-vormig pad of in een rechte lijn verplaatst - het verandert altijd metmgh​.

Stel je nu een situatie voor waarin je een bal van 500 g (0,5 kg) van een hoogte van 15 meter laat vallen. Als we het effect van luchtweerstand negeren en aannemen dat hij niet roteert tijdens zijn val, hoeveel kinetische energie zal de bal dan hebben op het moment dat hij contact maakt met de grond?

De sleutel tot dit probleem is het feit dat de totale energie behouden blijft, dus alle kinetische energie komt van de GPE, en dus de kinetische energieE​_k op zijn maximale waarde moet gelijk zijn aan de GPE op zijn maximale waarde, ofGPE​ = ​E​_k. U kunt het probleem dus eenvoudig oplossen:

Het behoud van energie vereenvoudigt ook veel andere berekeningen met gravitatiepotentiële energie. Denk aan de bal uit het vorige voorbeeld: nu je de totale kinetische energie kent op basis van zijn zwaartekracht potentiële energie op zijn hoogste punt, wat is de uiteindelijke snelheid van de bal op het moment voordat hij de aarde raakt oppervlakte? Je kunt dit uitwerken op basis van de standaardvergelijking voor kinetische energie:

Met de waarde vanE​_k bekend is, kun je de vergelijking herschikken en oplossen voor de snelheidv​:

U kunt echter het behoud van energie gebruiken om een ​​vergelijking af te leiden die van toepassing is opiedervallend voorwerp, door eerst op te merken dat in situaties als deze, -∆GPE​ = ∆​E​_k, en dus:

Annulerenmvan beide kanten en herschikken geeft:

Merk op dat deze vergelijking laat zien dat, zonder rekening te houden met luchtweerstand, massa geen invloed heeft op de uiteindelijke snelheidv, dus als je twee objecten van dezelfde hoogte laat vallen, zullen ze op exact hetzelfde moment de grond raken en met dezelfde snelheid vallen. U kunt het verkregen resultaat ook controleren met de eenvoudigere tweestapsmethode en aantonen dat deze nieuwe vergelijking inderdaad hetzelfde resultaat oplevert met de juiste eenheden.

Ten slotte geeft de vorige vergelijking je ook een manier om te berekenengop andere planeten. Stel je voor dat je de bal van 0,5 kg van 10 m boven het oppervlak van Mars liet vallen en een eindsnelheid registreerde (net voordat hij het oppervlak raakte) van 8,66 m/s. Wat is de waarde vangop Mars?

Uitgaande van een eerder stadium in de herschikking:

Jij ziet dat:

Het behoud van energie, in combinatie met de vergelijkingen voor gravitatie potentiële energie en kinetische energie, heeftveelgebruikt, en als je gewend raakt aan het exploiteren van de relaties, kun je met gemak een groot aantal klassieke natuurkundige problemen oplossen.