Wetten van slingerbeweging

Slingers hebben interessante eigenschappen die natuurkundigen gebruiken om andere objecten te beschrijven. De baan van de planeet volgt bijvoorbeeld een soortgelijk patroon en slingeren op een schommel kan voelen alsof je op een slinger zit. Deze eigenschappen komen voort uit een reeks wetten die de beweging van de slinger bepalen. Door deze wetten te leren, kunt u enkele van de basisprincipes van de natuurkunde en van beweging in het algemeen beginnen te begrijpen.

De beweging van een slinger kan worden beschreven met

waarinθvertegenwoordigt de hoek tussen de string en de verticale lijn in het midden,tstaat voor tijd, enTis de periode, de tijd die nodig is om één volledige cyclus van de slingerbeweging te laten plaatsvinden (gemeten door1/f), van de motie voor een slinger.

​Simpele harmonische beweging, of beweging die beschrijft hoe de snelheid van een object oscilleert evenredig met de hoeveelheid verplaatsing vanuit evenwicht, kan worden gebruikt om de vergelijking van een slinger te beschrijven. De slinger van een slinger wordt in beweging gehouden door deze kracht die erop inwerkt terwijl hij heen en weer beweegt.

•••Syed Hussain Ather

De wetten die de slingerbeweging beheersen, leidden tot de ontdekking van een belangrijk bezit. Natuurkundigen verdelen krachten in een verticale en een horizontale component. In slingerbeweging,drie krachten werken direct op de slinger: de massa van de bob, de zwaartekracht en de spanning in de snaar. Massa en zwaartekracht werken beide verticaal naar beneden. Omdat de slinger niet omhoog of omlaag beweegt, heft de verticale component van de snaarspanning de massa en zwaartekracht op.

Dit toont aan dat de massa van een slinger niet relevant is voor zijn beweging, maar de horizontale snaarspanning wel. Eenvoudige harmonische beweging is vergelijkbaar met cirkelvormige beweging. U kunt een object beschrijven dat in een cirkelvormig pad beweegt, zoals weergegeven in de bovenstaande afbeelding, door de hoek en straal te bepalen die het inneemt in het bijbehorende cirkelvormige pad. Met behulp van de trigonometrie van de rechthoekige driehoek tussen het middelpunt van de cirkel, de positie van het object en de verplaatsing in beide richtingen x en y, kun je vergelijkingen vindenx = hars (θ)eny = rcos (θ).​

De eendimensionale vergelijking van een object in eenvoudige harmonische beweging wordt gegeven doorx = r cos (ωt).U kunt verder vervangenEENvoorrwaarinEENis deamplitude, de maximale verplaatsing vanaf de beginpositie van het object.

De hoeksnelheidωmet betrekking tot tijdtvoor deze hoekenθis gegeven doorθ = t. Als je de vergelijking vervangt die de hoeksnelheid relateert aan de frequentief​, ​ω = 2​​f, kun je je deze cirkelvormige beweging voorstellen, dan, als onderdeel van een slinger die heen en weer zwaait, dan is de resulterende eenvoudige harmonische bewegingsvergelijking

•••Syed Hussain Ather

Slingers, zoals massa's op een veer, zijn voorbeelden van:eenvoudige harmonische oscillatoren: Er is een herstellende kracht die toeneemt afhankelijk van hoe verplaatst de slinger is, en hun beweging kan worden beschreven met behulp van deeenvoudige harmonische oscillatorvergelijking​

waarinθvertegenwoordigt de hoek tussen de string en de verticale lijn in het midden,tstaat voor tijd enTis deperiode, de tijd die nodig is om een ​​volledige cyclus van de slingerbeweging te laten plaatsvinden (gemeten door1/f), van de motie voor een slinger.

​θ_maxis een andere manier om het maximum te definiëren dat de hoek oscilleert tijdens de beweging van de slinger en is een andere manier om de amplitude van de slinger te definiëren. Deze stap wordt hieronder uitgelegd onder de sectie "Eenvoudige slingerdefinitie".

Een andere implicatie van de wetten van een eenvoudige slinger is dat de oscillatieperiode met constante lengte onafhankelijk is van de grootte, vorm, massa en materiaal van het object aan het uiteinde van de snaar. Dit wordt duidelijk aangetoond door de eenvoudige slingerafleiding en de vergelijkingen die daaruit voortvloeien.

Je kunt de vergelijking voor a. bepaleneenvoudige slinger, de definitie die afhangt van een eenvoudige harmonische oscillator, uit een reeks stappen die beginnen met de bewegingsvergelijking voor een slinger. Omdat de zwaartekracht van een slinger gelijk is aan de kracht van de beweging van de slinger, kun je ze gelijk aan elkaar stellen met behulp van de tweede wet van Newton met een slingermassaM, draadlengteL, hoekθ,zwaartekrachtversnellinggen tijdsintervalt​.

•••Syed Hussain Ather

Je stelt de tweede wet van Newton gelijk aan het traagheidsmomentik=mr²voor wat massamen straal van de cirkelvormige beweging (lengte van de snaar in dit geval)rmaal de hoekversnellingα​.

1. ​ΣF = Ma: De tweede wet van Newton stelt dat de nettokrachtFop een object is gelijk aan de massa van het object vermenigvuldigd met versnelling.
2. ​Ma = ik: Hiermee kunt u de kracht van de zwaartekrachtversnelling instellen (-Mg sin (θ)L)gelijk aan de kracht van de rotatie
   
3. ​-Mg sin (θ)L = ik​: U kunt de richting van de verticale kracht als gevolg van de zwaartekracht verkrijgen (-Mg) door de versnelling te berekenen alszonde (θ)Lalssin (θ) = d/Lvoor enige horizontale verplaatsingden hoekθ​ om rekening te houden met de richting.
   
4. ​-Mg sin (θ)L = ML² α: Je vervangt de vergelijking voor het traagheidsmoment van een roterend lichaam met snaarlengte L als straal.
   
5. ​-Mg sin (θ)L = -ML²​​d²/dt: Houd rekening met de hoekversnelling door de tweede afgeleide van de hoek te vervangen door de tijd voorα.Deze stap vereist calculus en differentiaalvergelijkingen.
   
6. ​d²/dt² + (g/L)sinθ = 0: U kunt dit verkrijgen door beide zijden van de vergelijking te herschikken
   
7. ​d²/dt² + (g/L)θ = 0: U kunt bij benaderingzonde (θ)net zoθten behoeve van een eenvoudige slinger bij zeer kleine oscillatiehoeken
   
8. ​θ(t) = θ_maxcos (t (L/g)²): De bewegingsvergelijking heeft deze oplossing. Je kunt het verifiëren door de tweede afgeleide van deze vergelijking te nemen en te werken aan stap 7.

Er zijn andere manieren om een ​​eenvoudige slingerafleiding te maken. Begrijp de betekenis achter elke stap om te zien hoe ze gerelateerd zijn. Met deze theorieën kun je een eenvoudige slingerbeweging beschrijven, maar je moet ook rekening houden met andere factoren die van invloed kunnen zijn op de eenvoudige slingertheorie.

Als je het resultaat van deze afleiding vergelijkt

aan de vergelijking van een eenvoudige harmonische oscillatorbAls je ze gelijk aan elkaar stelt, kun je een vergelijking afleiden voor de periode T:

Merk op dat deze vergelijking niet afhangt van de massaMvan de slinger, de amplitudeθ_max, noch op de tijdt. Dat betekent dat de periode onafhankelijk is van massa, amplitude en tijd, maar in plaats daarvan afhankelijk is van de lengte van de snaar. Het geeft je een beknopte manier om slingerbewegingen uit te drukken.

Met de vergelijking voor een periode kun je de vergelijking herschikken om te verkrijgen

en vervang 1 sec voorTen9,8 m/s²voorgverkrijgenL =0,0025 meter. Houd in gedachten dat deze vergelijkingen van de eenvoudige slingertheorie aannemen dat de lengte van de snaar wrijvingsloos en massaloos is. Om met die factoren rekening te houden, zijn ingewikkelder vergelijkingen nodig.

U kunt de slinger achterhoek trekkenθom het heen en weer te laten zwaaien om het te zien oscilleren, net als een veer. Voor een eenvoudige slinger kun je deze beschrijven met behulp van bewegingsvergelijkingen van een eenvoudige harmonische oscillator. De bewegingsvergelijking werkt goed voor kleinere waarden van hoek enamplitude, de maximale hoek, omdat het eenvoudige slingermodel vertrouwt op de benadering datzonde (θ)​ ≈ ​θvoor een slingerhoekθ.Aangezien de waarden hoeken en amplitudes groter worden dan ongeveer 20 graden, werkt deze benadering niet zo goed.

Probeer het zelf uit. Een slinger die slingert met een grote beginhoekθzal niet zo regelmatig oscilleren, zodat u een eenvoudige harmonische oscillator kunt gebruiken om het te beschrijven. Bij een kleinere beginhoekθ, nadert de slinger een regelmatige, oscillerende beweging veel gemakkelijker. Omdat de massa van een slinger geen invloed heeft op zijn beweging, hebben natuurkundigen bewezen dat alle slingers dezelfde oscillatieperiode hebben hoeken - de hoek tussen het middelpunt van de slinger op het hoogste punt en het middelpunt van de slinger in de stoppositie - minder dan 20 graden.

Voor alle praktische doeleinden van een slinger in beweging, zal de slinger uiteindelijk vertragen en tot stilstand komen vanwege de wrijving tussen de snaar en het bevestigingspunt erboven en door luchtweerstand tussen de slinger en de lucht eromheen.

Voor praktische voorbeelden van slingerbewegingen zouden de periode en snelheid afhangen van het type materiaal dat wordt gebruikt dat deze voorbeelden van wrijving en luchtweerstand zou veroorzaken. Als je berekeningen uitvoert op theoretisch slingergedrag zonder rekening te houden met deze krachten, dan zal het een oneindig slingerende slinger verklaren.

De eerste wet van Newton definieert de snelheid van objecten als reactie op krachten. De wet stelt dat als een voorwerp met een bepaalde snelheid en in een rechte lijn beweegt, het oneindig met die snelheid en in een rechte lijn zal blijven bewegen, zolang er geen andere kracht op inwerkt. Stel je voor dat je een bal recht naar voren gooit - de bal zou keer op keer rond de aarde gaan als luchtweerstand en zwaartekracht er niet op inwerkten. Deze wet laat zien dat, aangezien een slinger heen en weer beweegt en niet op en neer, er geen op- en neerwaartse krachten op inwerken.

De tweede wet van Newton wordt gebruikt bij het bepalen van de netto kracht op de slinger door de zwaartekracht gelijk te stellen aan de kracht van de draad die weer omhoog trekt aan de slinger. Door deze vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen, kunt u de bewegingsvergelijkingen voor de slinger afleiden.

De derde wet van Newton stelt dat elke actie een even krachtige reactie heeft. Deze wet werkt met de eerste wet die aantoont dat hoewel de massa en zwaartekracht de verticale component van de snaarspanningsvector opheffen, niets de horizontale component opheft. Deze wet laat zien dat de krachten die op een slinger werken elkaar kunnen opheffen.

Natuurkundigen gebruiken de eerste, tweede en derde wet van Newton om te bewijzen dat de horizontale snaarspanning de slinger beweegt zonder rekening te houden met massa of zwaartekracht. De wetten van een eenvoudige slinger volgen de ideeën van de drie bewegingswetten van Newton.