Iedomājieties, ka jūs stāvat pilnīgi apļveida manēžas vidū. Jūs skatāties uz pūļa malām arēnas malās, un vienā vietā pamanāt savu labāko draugu un pāris sekcijās savu vidusskolas matemātikas skolotāju. Kāds ir attālums starp viņiem un tevi? Cik tālu jums būtu jāiet, lai ceļotu no drauga vietas uz skolotāja vietu? Kādi ir leņķu mērījumi starp jums? Šie visi ir jautājumi, kas saistīti ar centrālajiem leņķiem.
A centrālais leņķis ir leņķis, kas veidojas, kad no apļa centra līdz tā malām tiek novilkti divi rādiusi. Šajā piemērā divi rādiusi ir jūsu divas redzes līnijas no jums, manēžas centrā, līdz jūsu draugam, un jūsu redzes līnija - jūsu skolotājam. Leņķis, kas veidojas starp šīm divām līnijām, ir centrālais leņķis. Tas ir leņķis, kas ir vistuvāk apļa centram.
Jūsu draugs un jūsu skolotājs sēž gar apkārtmērs vai apļa malas. Ceļš gar arēnu, kas tos savieno, ir loka.
Atrodiet centrālo leņķi pēc loka garuma un apkārtmēra
Lai atrastu centrālo leņķi, varat izmantot pāris vienādojumus. Dažreiz jūs saņemsiet
loka garums, attālums gar apkārtmēru starp diviem punktiem. (Šajā piemērā tas ir attālums, kas jums būtu jānoiet arēnā, lai nokļūtu no sava drauga pie sava skolotāja.) Attiecība starp centrālo leņķi un loka garumu ir:(loka garums) ÷ apkārtmērs = (centrālais leņķis) ÷ 360 °
Centrālais leņķis būs grādos.
Šī formula ir jēga, ja jūs to domājat. Loka garums no kopējā garuma ap apli (apkārtmērs) ir tāds pats kā loka leņķis no kopējā leņķa aplī (360 grādi).
Lai efektīvi izmantotu šo vienādojumu, jums jāzina apļa apkārtmērs. Bet jūs varat arī izmantot šo formulu, lai atrastu loka garumu, ja zināt centrālo leņķi un apkārtmēru. Vai arī, ja jums ir loka garums un centrālais leņķis, jūs varat atrast apkārtmēru!
Atrodiet centrālo leņķi no loka garuma un rādiusa
Lai atrastu centrālo leņķi, varat izmantot arī apļa rādiusu un loka garumu. Izsauciet centrālā leņķa mēru θ. Tad:
θ = s÷ r, kur s ir loka garums un r ir rādiuss. θ mēra radiānos.
Atkal jūs varat pārkārtot šo vienādojumu atkarībā no jūsu rīcībā esošās informācijas. Loka garumu var atrast no rādiusa un centrālā leņķa. Vai arī jūs varat atrast rādiusu, ja jums ir centrālais leņķis un loka garums.
Ja vēlaties loka garumu, vienādojums izskatās šādi:
s =θ * r, kur s ir loka garums, r ir rādiuss un θ ir centrālais leņķis radiānos.
Centrālā leņķa teorēma
Pievienosim pagriezienu jūsu piemēram, kur jūs atrodaties arēnā kopā ar savu kaimiņu un savu skolotāju. Tagad arēnā ir trešā persona, kuru jūs pazīstat: jūsu kaimiņš. Un vēl viena lieta: viņi ir aiz muguras. Lai tos redzētu, jums jāpagriežas.
Jūsu kaimiņš atrodas aptuveni pāri manēžai no jūsu drauga un skolotāja. No jūsu kaimiņa viedokļa ir leņķis, ko veido viņu redzes līnija pret draugu un viņu redzes līnija pret skolotāju. To sauc par ierakstītu leņķi. An uzrakstīts leņķis ir leņķis, ko veido trīs punkti ap apļa apkārtmēru.
Centrālā leņķa teorēma izskaidro saistību starp jūsu veidotā centrālā leņķa lielumu un jūsu kaimiņa izveidoto leņķi. The Centrālā leņķa teorēma nosaka, ka centrālais leņķis ir divreiz lielāks par ierakstīto leņķi. (Tas pieņem, ka jūs izmantojat tos pašus galapunktus. Jūs abi skatāties uz skolotāju un draugu, nevis uz citiem.
Šeit ir vēl viens veids, kā to uzrakstīt. Sauksim jūsu drauga vietu A, skolotāja vietu B un kaimiņa vietu C. Jūs centrā varat būt O.
Tātad trim punktiem A, B un C pa apļa apkārtmēru un punktu O centrā centrālais leņķis ∠AOC ir divreiz lielāks par ierakstīto leņķi ∠ABC.
Tas ir, OCAOC = 2∠ABC.
Tam ir kāda jēga. Jūs esat tuvāk draugam un skolotājam, tāpēc jums viņi skatās tālāk (lielāks leņķis). Savam kaimiņam otrā stadiona pusē viņi izskatās daudz tuvāk viens otram (mazāks leņķis).
Centrālā leņķa teorēmas izņēmums
Tagad mainīsim lietas uz augšu. Tavs kaimiņš arēnas tālākajā pusē sāk kustēties! Viņiem joprojām ir redzamība draugam un skolotājam, taču līnijas un leņķi turpina mainīties, kad kaimiņš kustas. Uzminiet: kamēr kaimiņš paliek ārpus loka starp draugu un kaimiņu, Centrālā leņķa teorēma joprojām ir spēkā!
Bet kas notiek, kad kaimiņš pārvietojas starp draugs un skolotājs? Tagad jūsu kaimiņš ir iekšā neliela loka, salīdzinoši mazais attālums starp draugu un skolotāju, salīdzinot ar lielāku attālumu ap pārējo arēnu. Tad jūs sasniedzat Centrālā leņķa teorēmas izņēmumu.
The centrālā leņķa teorēmas izņēmums teikts, ka tad, kad punkts C, kaimiņš, atrodas mazākās loka iekšienē, ierakstītais leņķis ir puse centrālā leņķa papildinājums. (Atcerieties, ka leņķis un tā papildinājums pievienojiet 180 grādiem.)
Tātad: ierakstītais leņķis = 180 - (centrālais leņķis ÷ 2)
Vai arī: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Vizualizēt
Math Open Reference ir rīks, kas ļauj vizualizēt centrālā leņķa teorēmu un tās izņēmumu. Jums jāvelk "kaimiņš" uz visām apļa daļām un jāskatās, kā leņķi mainās. Izmēģiniet to, ja vēlaties vizuālu vai papildu praksi!