Kā atrast atvasinājumus

Viena no svarīgākajām operācijām, ko veicat aprēķinā, ir atvasinājumu atrašana. Funkcijas atvasinājumu sauc arī par šīs funkcijas izmaiņu ātrumu. Piemēram, ja x (t) ir automašīnas stāvoklis jebkurā brīdī t, tad x atvasinājums, kas rakstīts dx / dt, ir automašīnas ātrums. Arī atvasinājumu var vizualizēt kā līnijas slīpumu, kas pieskaras funkcijas grafikam. Teorētiskā līmenī matemātiķi tā atrod atvasinājumus. Praksē matemātiķi izmanto pamatnoteikumu kopas un uzmeklēšanas tabulas.

Līnijas slīpums starp diviem punktiem ir y vērtību pieaugums vai starpība, dalīta ar skrējienu, vai x vērtību starpība. Funkcijas y (x) slīpums noteiktai x vērtībai tiek definēts kā līnijas slīpums, kas pieskaras funkcijai punktā [x, y (x)]. Lai aprēķinātu slīpumu, jūs izveidojat līniju starp punktu [x, y (x)] un tuvējo punktu [x + h, y (x + h)], kur h ir ļoti mazs skaitlis. Šai līnijai palaišana vai x vērtības izmaiņas ir h, un y vērtības pieaugums vai izmaiņas ir y (x + h) - y (x). Līdz ar to y (x) slīpums punktā [x, y (x)] ir aptuveni vienāds ar [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Lai precīzi iegūtu slīpumu, jums jāaprēķina slīpuma vērtība, kad h kļūst arvien mazāks, līdz “robežai”, kur tā ir nulle. Šādi aprēķinātais slīpums ir y (x) atvasinājums, kas rakstīts kā y ’(x) vai dy / dx.

Slīpuma / robežas metodi var izmantot, lai aprēķinātu funkciju atvasinājumus, kur y ir vienāds ar x ar a jaudu vai y (x) = x ^ a. Piemēram, ja y ir vienāds ar x cubed, y (x) = x ^ 3, tad dy / dx ir robeža, kad h iet uz nulli no [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Paplašinot (x + h) ^ 3, iegūst [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, kas pēc sadalīšanas samazinās līdz 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 autors h. Ierobežojumā, kad h iet uz nulli, visi termini, kuros ir h, arī iet uz nulli. Tātad, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. To var izdarīt vērtībām, kas nav 3, un kopumā varat parādīt, ka d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Daudzas funkcijas var rakstīt kā tā sauktās jaudas sērijas, kas ir bezgalīga skaitļa terminu summa, kur katram ir forma C (n) x ^ n, kur x ir mainīgais, n ir vesels skaitlis un C (n) ir īpašs skaitlis katrai vērtības n. Piemēram, sinusa funkcijas jaudas sērija ir Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., kur “...” nozīmē terminus, kas turpinās līdz bezgalībai. Ja zināt funkcijas jaudas sēriju, funkcijas derivāta aprēķināšanai varat izmantot jaudas x ^ n atvasinājumu. Piemēram, Sin (x) atvasinājums ir vienāds ar 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., kas gadās būt Cos (x) jaudas sērija.

Pamatfunkciju atvasinājumi, piemēram, tādas jaudas kā x ^ a, eksponenciālās funkcijas, žurnāla funkcijas un trigera funkcijas, tiek atrasti, izmantojot slīpuma / robežas metodi, jaudas sērijas metodi vai citas metodes. Šie atvasinājumi ir uzskaitīti tabulās. Piemēram, jūs varat uzzināt, ka Sin (x) atvasinājums ir Cos (x). Ja sarežģītas funkcijas ir pamatfunkciju kombinācijas, jums ir nepieciešami īpaši noteikumi, piemēram, ķēdes likums un produkta noteikums, kas arī ir doti tabulās. Piemēram, jūs izmantojat ķēdes kārtulu, lai atrastu, ka Sin (x ^ 2) atvasinājums ir 2xCos (x ^ 2). Jūs izmantojat produkta kārtulu, lai uzzinātu, ka xSin (x) atvasinājums ir xCos (x) + Sin (x). Izmantojot tabulas un vienkāršus noteikumus, jūs varat atrast jebkuras funkcijas atvasinājumu. Bet, ja funkcija ir ārkārtīgi sarežģīta, zinātnieki dažkārt izmanto palīdzību datorprogrammās.