Šrodingera vienādojums ir vissvarīgākais kvantu mehānikas vienādojums, un iemācīšanās to izmantot un to, ko tas nozīmē, ir būtisks jebkuram topošajam fiziķim. Vienādojums ir nosaukts Ervina Šrēdingera vārdā, kurš 1933. gadā kopā ar Polu Diraku ieguva Nobela prēmiju par ieguldījumu kvantu fizikā.
Šrodingera vienādojums apraksta kvantu mehāniskās sistēmas viļņu funkciju, kas dod varbūtības informācija par daļiņas atrašanās vietu un citiem novērojamiem lielumiem, piemēram, tās impulss. Vissvarīgākais, ko jūs sapratīsit par kvantu mehāniku, uzzinot par vienādojumu, ir tas, ka likumi kvantu valstībā irļoti atšķirīgsno klasiskās mehānikas.
Viļņu funkcija
Viļņu funkcija ir viens no vissvarīgākajiem jēdzieniem kvantu mehānikā, jo katru daļiņu attēlo viļņu funkcija. Parasti to piešķir grieķu burtam psi (Ψ), un tas ir atkarīgs no vietas un laika. Kad jums ir daļiņas viļņu funkcijas izteiksme, tā stāsta visu, par ko var zināt fizisko sistēmu, un dažādas vērtības novērojamiem lielumiem var iegūt, piesakoties operatoram to.
Viļņu funkcijas moduļa kvadrāts norāda varbūtību atrast daļiņu pozīcijāxnoteiktā laikāt. Tas notiek tikai tad, ja funkcija ir “normalizēta”, kas nozīmē, ka kvadrāta moduļa summai visās iespējamās vietās jābūt vienādai ar 1, t.i., ka daļiņa irnoteiktiatrastieskaut kur.
Ņemiet vērā, ka viļņu funkcija sniedz tikai varbūtības informāciju, tāpēc jūs nevarat paredzēt viena novērojuma rezultātu, kaut arī jūsvarnoteikt vidējo daudzos mērījumos.
Lai aprēķinātu, varat izmantot viļņu funkciju“Gaidītā vērtība”daļiņas stāvoklim laikāt, paredzamā vērtība ir vidējā vērtībaxjūs iegūtu, ja atkārtotu mērījumu daudzas reizes.
Atkal tas jums neko nesaka par konkrētu mērījumu. Faktiski viļņu funkcija drīzāk ir vienas daļiņas varbūtības sadalījums nekā kaut kas konkrēts un uzticams. Izmantojot atbilstošo operatoru, jūs varat iegūt arī impulsa, enerģijas un citu novērojamo lielumu paredzamās vērtības.
Šrodingera vienādojums
Šrodingera vienādojums ir lineārs daļējs diferenciālvienādojums, kas apraksta a kvantu stāvoklis līdzīgā veidā kā Ņūtona likumos (it īpaši otrajā likumā) klasiskajā mehānika.
Tomēr Šrodingera vienādojums ir viļņu vienādojums attiecīgās daļiņas viļņu funkcijai, un tāpēc vienādojuma izmantošana nākotnes stāvokļa prognozēšanai sistēmas sistēmu dažkārt sauc par “viļņu mehāniku”. Pats vienādojums izriet no enerģijas saglabāšanas un ir veidots ap operatoru, ko sauc par Hamiltoniāns.
Vienkāršākā Schrodinger vienādojuma forma, ko pierakstīt, ir:
H Ψ = iℏ \ frac {\ daļējsΨ} {\ daļējs t}
Kur ℏ ir reducētā Plankas konstante (t.i., konstante dalīta ar 2π) unHir Hamiltona operators, kas atbilst kvantu sistēmas potenciālās enerģijas un kinētiskās enerģijas (kopējās enerģijas) summai. Hamiltoniānis pats par sevi ir diezgan garš izteiciens, tāpēc pilnu vienādojumu var rakstīt šādi:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ daļējs ^ 2 Ψ} {\ daļējs x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ daļējsΨ} {\ daļējs t}
Ievērojot, ka dažreiz (nepārprotami trīsdimensiju problēmu gadījumā) pirmais daļējais atvasinājums tiek rakstīts kā Laplasas operators ∇2. Būtībā Hamiltoniāns darbojas uz viļņu funkciju, lai aprakstītu tā evolūciju telpā un laikā. Bet vienādojuma no laika neatkarīgajā versijā (t.i., kad sistēma nav atkarīga not), Hamiltons dod sistēmas enerģiju.
Šrodingera vienādojuma atrisināšana nozīmēkvantu mehānisko viļņu funkcijakas to apmierina konkrētā situācijā.
No laika atkarīgā Šrodingera vienādojums
No laika atkarīgs Šrodingera vienādojums ir versija no iepriekšējās sadaļas, un tas apraksta daļiņu viļņu funkcijas attīstību laikā un telpā. Vienkāršs gadījums, kas jāapsver, ir brīva daļiņa, jo potenciālā enerģijaV= 0, un risinājums izpaužas plaknes viļņa formā. Šiem risinājumiem ir šāda forma:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Kurk = 2π / λ, λir viļņa garums, unω = E / ℏ.
Citās situācijās sākotnējā vienādojuma potenciālās enerģijas daļa apraksta robežnosacījumus viļņa funkcijas telpiskā daļa, un tā bieži tiek sadalīta laika evolūcijas funkcijā un neatkarīgā no laika vienādojums.
Laika neatkarīgais Šrodingera vienādojums
Statiskās situācijās vai risinājumos, kas veido stāvošus viļņus (piemēram, potenciālā urbuma, “daļiņas kastē” stila risinājumi), viļņu funkciju varat sadalīt laika un telpas daļās:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Pārejot to pilnībā, laika daļu var atcelt, atstājot to Šrodingera vienādojuma formātikaiatkarīgs no daļiņas stāvokļa. Pēc tam laika neatkarīgā viļņa funkciju dod:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
ŠeitEir kvantu mehāniskās sistēmas enerģija, unHir Hamiltonas operators. Šī vienādojuma forma iegūst precīzu īpašvērtības vienādojuma formu ar viļņu funkciju ir īpaša funkcija un enerģija ir īpašvērtība, kad tiek izmantots Hamiltona operators pie tā. Paplašinot Hamiltona valodu skaidrākā formā, to var pilnībā uzrakstīt šādi:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ daļējs ^ 2 Ψ} {\ daļējs x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Vienādojuma laika daļa ir iekļauta funkcijā:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
No laika neatkarīga Šrodingera vienādojuma risinājumi
No laika neatkarīgais Šrodingera vienādojums ir piemērots diezgan vienkāršiem risinājumiem, jo tas apgriež visu vienādojuma formu. Ideāls piemērs tam ir “daļiņa kastē” risinājumu grupa, kurā tiek pieņemts, ka daļiņa vienā dimensijā atrodas bezgalīgā kvadrātveida potenciālā, tāpēc potenciāls ir nulle (t.i.V= 0) visā, un nav izredžu daļiņu atrast ārpus akas.
Ir arī ierobežots kvadrātveida urbums, kur potenciāls pie akas “sienām” nav bezgalīgs, un pat tad, ja tas ir lielāks par daļiņas enerģiju, irdažiiespēja atrast daļiņu ārpus tās kvantu tuneļa dēļ. Bezgalīgajam potenciālam labi risinājumi ir šādi:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
KurLir akas garums.
Delta funkcijas potenciāls ir ļoti līdzīgs jēdziens potenciālajam urbumam, izņemot platumuLiet uz nulli (t.i., ir bezgalīgi mazs ap vienu punktu) un akas dziļums iet uz bezgalību, savukārt abu (U0) paliek nemainīgs. Šajā ļoti idealizētajā situācijā ir tikai viens saistīts stāvoklis, ko sniedz:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Ar enerģiju:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Ūdeņraža atoma šķīdums Šrodingera vienādojumam
Visbeidzot, ūdeņraža atoma šķīdumam ir acīmredzams pielietojums reālās pasaules fizikā, taču praksē situācija jo elektronu ap ūdeņraža atoma kodolu var uzskatīt par diezgan līdzīgu potenciālajam urbumam problēmas. Tomēr situācija ir trīsdimensiju, un to vislabāk raksturo sfēriskās koordinātasr, θ, ϕ. Šajā gadījumā risinājumu sniedz:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
KurPir Legendre polinomi,Rir specifiski radiālie risinājumi, unNir konstante, kuru jūs labojat, izmantojot viļņu funkcijas normalizēšanu. Vienādojums dod enerģijas līmeni, ko sniedz:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
KurZšeit ir atomu skaitlis (tātadZ= 1 ūdeņraža atomam),ešajā gadījumā ir elektrona lādiņš (nevis konstantee = 2.7182818...), ϵ0 ir brīvās vietas caurlaidība, unμir reducētā masa, kuras pamatā ir ūdeņraža atoma protona un elektrona masa. Šī izteiksme ir laba jebkuram ūdeņražam līdzīgam atomam, kas nozīmē jebkuru situāciju (ieskaitot jonus), kur ap centrālo kodolu riņķo viens elektrons.