Elektromagnētisma noslēpumu atrisināšana līdz šim ir bijis viens no lielākajiem fizikas sasniegumiem, un gūtās mācības ir pilnībā ietvertas Maksvela vienādojumos.
Džeimss Klerks Maksvels piešķir savu vārdu šiem četriem elegantajiem vienādojumiem, taču tie ir kulminācija gadu desmitiem ilgā daudzu fiziķu darbā, tostarp Maikls Faradejs, Andrē-Marija Ampere un Karls Frīdrihs Gauss - kuri savus vārdus piešķir trim no četriem vienādojumiem - un daudzi citi. Kaut arī pats Maksvels tikai pievienoja terminu vienam no četriem vienādojumiem, viņam bija tālredzība un sapratne apkopo labāko darbu, kas bija paveikts par šo tēmu, un iepazīstini tos tādā veidā, kādu joprojām izmanto fiziķi šodien.
Daudzus, daudzus gadus fiziķi uzskatīja, ka elektrība un magnētisms ir atsevišķi spēki un atšķirīgas parādības. Bet eksperimentējot ar tādiem cilvēkiem kā Faradejs, kļuva arvien skaidrāk, ka viņi patiesībā ir divas tā pati parādība, un Maksvela vienādojumi parāda šo vienoto ainu, kas joprojām ir tikpat aktuāla kā šodien gadsimtā. Ja jūs mācīsities fiziku augstākos līmeņos, jums noteikti jāzina Maksvela vienādojumi un to izmantošana.
Maksvela vienādojumi
Maksvela vienādojumi ir šādi gan diferenciālā, gan integrālā formā. (Ņemiet vērā, ka, lai gan šeit ir noderīgas zināšanas par diferenciālvienādojumiem, konceptuāla izpratne ir iespējama arī bez tām.)
Gausa likums par elektrību
Diferenciālā forma:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Neatņemama forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Nav monopola likuma / Gausa likuma par magnētismu
Diferenciālā forma:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Neatņemama forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradeja Indukcijas likums
Diferenciālā forma:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Neatņemama forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maksvela likums / Ampere’s Law
Diferenciālā forma:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Neatņemama forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Simboli, kas izmantoti Maksvela vienādojumos
Maksvela vienādojumos tiek izmantota diezgan liela simbolu izvēle, un, ja jūs iemācīsities tos pielietot, ir svarīgi saprast, ko tie nozīmē. Tātad, šeit ir aprakstīta izmantoto simbolu nozīme:
B= magnētiskais lauks
E= elektriskais lauks
ρ= elektriskā lādiņa blīvums
ε0= brīvās vietas caurlaidība = 8,854 × 10-12 m-3 Kilograms-1 s4 A2
q= kopējais elektriskais lādiņš (pozitīvo un negatīvo lādiņu neto summa)
𝜙B = magnētiskā plūsma
Dž= strāvas blīvums
Es= elektriskā strāva
c= gaismas ātrums = 2,998 × 108 jaunkundze
μ0 = brīvās vietas caurlaidība = 4π × 10−7 N / A2
Turklāt ir svarīgi zināt, ka ∇ ir del operators, punkts starp diviem lielumiem (X ∙ Jā) parāda skalāru reizinājumu, treknrakstā reizināšanas simbols starp diviem lielumiem ir vektora reizinājums (X × Jā), ka del operatoru ar punktu sauc par “divergenci” (piem., ∇ ∙ X= atšķirībaX= divX) un del operatoru ar skalāru reizinājumu sauc par čokurošanos (piemēram, ∇× Jā= čokurošanāsJā= čokurošanāsJā). VisbeidzotAdAnozīmē slēgtās virsmas virsmu, kurai aprēķināt (dažreiz rakstot kā dS) unsdsir ļoti maza daļa no atvērtās virsmas robežas, par kuru jūs aprēķināt (lai gan tas dažreiz ir dl, atsaucoties uz bezgalīgi mazu līnijas komponentu).
Vienādojumu atvasināšana
Pirmais Maksvela vienādojumu vienādojums ir Gausa likums, un tajā teikts, ka neto elektriskā plūsma caur a slēgta virsma ir vienāda ar kopējo lādiņu, kas atrodas formas iekšpusē, dalot ar brīvās caurlaidību telpa. Šo likumu var atvasināt no Kulonas likuma pēc tam, kad ir sperts svarīgs solis, lai izteiktu Kulona likumu elektriskā lauka izteiksmē un tā ietekmi uz testa lādiņu.
Otrais no Maksvela vienādojumiem būtībā ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka "nav magnētisku monopolu". Tajā teikts ka neto magnētiskā plūsma caur slēgtu virsmu vienmēr būs 0, jo magnētiskie lauki vienmēr ir a rezultāts dipols. Likumu var atvasināt no Biot-Savart likuma, kurā aprakstīts strāvas elementa radītais magnētiskais lauks.
Trešais vienādojums - Faradejas indukcijas likums - apraksta, kā mainīgais magnētiskais lauks rada spriegumu stieples vai vadītāja cilpā. Sākotnēji tas tika iegūts no eksperimenta. Tomēr, ņemot vērā rezultātu, ka mainīgā magnētiskā plūsma inducē elektromotoru (EML vai spriegumu) un tādējādi elektrisko strāvu vadu cilpa un to, ka EML ir definēts kā elektriskā lauka līnijas integrālis ap ķēdi, likumu ir viegli likt kopā.
Ceturtais un pēdējais vienādojums, Amperes likums (vai Ampēra-Maksvela likums, lai viņam piešķirtu atzinību par viņu ieguldījums) raksturo to, kā magnētisko lauku rada kustīgs lādiņš vai mainīgs elektriskais laukā. Likums ir eksperimenta rezultāts (un līdz ar to - tāpat kā visi Maksvela vienādojumi - tas patiesībā netika “atvasināts” tradicionālā nozīmē), bet, izmantojotStoksa teorēmair svarīgs solis, lai panāktu pamata rezultātu mūsdienās izmantotajā formā.
Maksvela vienādojumu piemēri: Gausa likums
Atklāti sakot, it īpaši, ja jūs precīzi neatrodaties savā vektora aprēķinā, Maksvela vienādojumi izskatās diezgan biedējoši, neskatoties uz to, cik salīdzinoši visi tie ir. Labākais veids, kā tos patiešām saprast, ir iziet dažus piemērus, kā tos izmantot praksē, un Gausa likums ir labākā vieta, kur sākt. Gausa likums būtībā ir fundamentālāks vienādojums, kas pilda Kulona likuma uzdevumu, un tas ir diezgan viegli no tā atvasināt Kulona likumu, ņemot vērā punkta radīto elektrisko lauku maksas.
Zvanīšana uz maksuq, galvenais punkts Gausa likuma piemērošanā ir pareizās "virsmas" izvēle, lai pārbaudītu elektrisko plūsmu. Šajā gadījumā labi darbojas sfēra, kurai ir virsmas laukumsA = 4πr2, jo jūs varat centrēt sfēru uz punkta lādiņu. Tas ir milzīgs ieguvums šādu problēmu risināšanā, jo tad jums nav nepieciešams integrēt dažādu lauku visā virsmā; lauks būs simetrisks ap punktu lādiņu, un tāpēc tas būs nemainīgs visā sfēras virsmā. Tātad neatņemama forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Var izteikt kā:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Ņemiet vērā, kaEjo elektriskais lauks ir aizstāts ar vienkāršu lielumu, jo lauks no punktveida lādiņa no avota vienkārši izplatīsies vienādi visos virzienos. Tagad, dalot ar sfēras laukumu, iegūst:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Tā kā spēks ir saistīts ar elektrisko lauku arE = F/q, kurqir testa maksa,F = qE, un tā:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Ja abonementi ir pievienoti, lai diferencētu abas maksas. Tas ir Kulona likums, kas norādīts standarta formā, un ir pierādīts, ka tas ir vienkāršs Gausa likuma rezultāts.
Maksvela vienādojumu piemēri: Faradeja likums
Faradejas likums ļauj aprēķināt elektromotora spēku stieples cilpā, kas rodas mainīga magnētiskā lauka rezultātā. Vienkāršs piemērs ir stieples cilpa ar rādiusur= 20 cm, magnētiskajā laukā, kura lielums palielinās noBi = 1 T līdzBf = 10 T of telpāt= 5 s - kāds šajā gadījumā ir inducētais EML? Likuma neatņemama forma ir saistīta ar plūsmu:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
kas ir definēts kā:
ϕ = BA \ cos (θ)
Galvenā problēmas daļa šeit ir plūsmas maiņas ātruma atrašana, taču, tā kā problēma ir diezgan vienkārša, daļējo atvasinājumu varat aizstāt ar vienkāršu katra daudzuma “izmaiņu”. Un integrālis patiesībā nozīmē tikai elektromotoru, tāpēc jūs varat pārrakstīt Faradeja indukcijas likumu šādi:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Ja mēs pieņemam, ka stieples cilpas normālā izlīdzināšana notiek ar magnētisko lauku,θ= 0 ° un tātad cos (θ) = 1. Tas atstāj:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Pēc tam problēmu var atrisināt, atrodot atšķirību starp sākotnējo un galīgo magnētisko lauku un cilpas laukumu šādi:
\ begin {izlīdzināts} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {izlīdzināts}
Tas ir tikai neliels spriegums, taču Faradejas likums tiek piemērots vienādi neatkarīgi.
Maksvela vienādojumu piemēri: Ampere-Maksvela likums
Ampēra-Maksvela likums ir pēdējais no Maksvela vienādojumiem, kas jums būs jāpielieto regulāri. Vienādojums atgriežas pie Amperes likuma, ja nav mainīga elektriskā lauka, tāpēc tas ir visvieglāk izskatāmais piemērs. Jūs varat to izmantot, lai iegūtu magnētiskā lauka vienādojumu, kas izriet no taisnas stieples, kas ved strāvuEs, un šis pamatpiemērs ir pietiekams, lai parādītu, kā tiek izmantots vienādojums. Pilns likums ir:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Bet nemainoties elektriskajam laukam, tas samazinās līdz:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Tagad, tāpat kā ar Gausa likumu, ja virsmai izvēlaties apli, kura centrā ir stieples cilpa, intuīcija liek domāt, ka iegūtais magnētiskais lauks būs simetrisks, un tāpēc jūs varat aizstāt integrālu ar vienkāršu cilpas apkārtmēra un magnētiskā lauka stipruma reizinājumu, atstājot:
B × 2πr = μ_0 I
Dalot ar 2πrdod:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Kas ir pieņemta magnētiskā lauka izteiksme attālumārkas rodas no taisnas stieples, kas ved strāvu.
Elektromagnētiskie viļņi
Kad Maksvels apkopoja savu vienādojumu kopumu, viņš sāka meklēt tiem risinājumus, kas palīdzētu izskaidrot dažādus parādības reālajā pasaulē, un ieskats, ko tā sniedza gaismā, ir viens no vissvarīgākajiem rezultātiem iegūts.
Tā kā mainīgais elektriskais lauks rada magnētisko lauku (pēc Amperes likuma) un mainīgais magnētiskais lauks elektriskais lauks (pēc Faradeja likuma) Maksvels izstrādāja, ka pašizplatošs elektromagnētiskais vilnis varētu būt iespējams. Viņš izmantoja savus vienādojumus, lai atrastu viļņu vienādojumu, kas aprakstītu šādu vilni, un noteica, ka tas pārvietosies ar gaismas ātrumu. Tas bija sava veida “eureka” brīdis; viņš saprata, ka gaisma ir elektromagnētiskā starojuma veids, kas darbojas tāpat kā viņa iedomātais lauks!
Elektromagnētiskais vilnis sastāv no elektriskā lauka viļņa un magnētiskā lauka viļņa, kas svārstās uz priekšu un atpakaļ, izlīdzināts taisnā leņķī viens pret otru. Viļņa elektriskās daļas svārstības rada magnētisko lauku, un šīs daļas svārstības savukārt, pārvietojoties telpā, atkal un atkal rada elektrisko lauku.
Tāpat kā jebkuram citam vilnim, arī elektromagnētiskajam vilnim ir frekvence un viļņa garums, un to reizinājums vienmēr ir vienāds arc, gaismas ātrums. Elektromagnētiskie viļņi atrodas mums visapkārt, kā arī redzamo gaismu, citus viļņu garumus parasti sauc par radioviļņiem, mikroviļņu, infrasarkano, ultravioleto, rentgena un gamma stariem. Visām šīm elektromagnētiskā starojuma formām ir tāda pati pamatforma, kā izskaidrots Maksvela vienādojumos, taču to enerģijas mainās atkarībā no frekvences (t.i., augstāka frekvence nozīmē lielāku enerģiju).
Tātad fiziķim Maksvels teica: "Lai ir gaisma!"
