Vai tas būtu slidotājs, kas ievelk rokās un ātrāk griežas, kā tas notiek, vai kaķis, kurš kontrolē, cik ātri tas griežas kritiena laikā, lai nodrošinātu, ka tas nolaižas uz kājām, inerces brīža koncepcijai ir izšķiroša nozīme rotācijas fizikā. kustība.
Citādi to sauc par rotācijas inerci, inerces moments ir masas rotācijas analogs otrais no Ņūtona kustības likumiem, aprakstot objekta tieksmi pretoties leņķiskajam paātrinājumam.
Sākumā šī koncepcija varētu šķist ne pārāk interesanta, bet kopā ar leņķa saglabāšanas likumu impulsu, to var izmantot, lai aprakstītu daudzas aizraujošas fiziskas parādības un paredzētu kustību plašā diapazonā situācijās.
Inerces brīža definīcija
Objekta inerces moments raksturo tā pretestību leņķiskajam paātrinājumam, ņemot vērā masas sadalījumu ap tā rotācijas asi.
Būtībā tas izsaka kvantitāti, cik grūti ir mainīt objekta griešanās ātrumu, neatkarīgi no tā, vai tas nozīmē sākt tā griešanos, apturēt to vai mainīt jau rotējoša objekta ātrumu.
Dažreiz to sauc par rotācijas inerci, un ir lietderīgi domāt par to kā masas analogu Ņūtona otrajā likumā:
Saistīta ar rotācijas kustības ekvivalentu izteicienu otrajam likumamgriezes moments (τ, spēka rotācijas analogs) līdz leņķiskajam paātrinājumamαun inerces momentsEs:
\ tau = es \ alfa
Vienam un tam pašam objektam var būt vairāki inerces momenti, jo, lai gan liela definīcijas daļa ir par masas sadalījumu, tā arī nosaka rotācijas ass atrašanās vietu.
Piemēram, kamēr inerces moments stienim, kas rotē ap tā centru, irEs = ML2/ 12 (kurMir masa unLir stieņa garums), tam pašam stienim, kas rotē ap vienu galu, ir inerces moments, ko dodEs = ML2/3.
Inerces momenta vienādojumi
Tātad ķermeņa inerces moments ir atkarīgs no tā masasM, tā rādiussRun tā rotācijas ass.
Dažos gadījumos,Rtiek apzīmēts kād, attālumam no rotācijas ass, un citās (tāpat kā ar stieni iepriekšējā sadaļā) to aizstāj ar garumu,L. SimbolsEstiek izmantots inerces momentam, un tam ir kg m vienības2.
Kā jūs varētu sagaidīt, pamatojoties uz līdz šim apgūto, inerces momentam ir daudz dažādu vienādojumu, un katrs no tiem attiecas uz noteiktu formu un noteiktu rotācijas asi. Visos inerces brīžos šis terminsMR2 parādās, lai gan dažādām formām šī termina priekšā ir atšķirīgas daļas, un dažos gadījumos kopā var būt vairāki termini.
TheMR2 komponents ir inerces moments punktveida masai attālumāRno rotācijas ass, un vienādojums konkrētam stingram ķermenim tiek veidots kā punktu masu summa vai integrējot bezgalīgu skaitu mazu punktu masu virs objekta.
Lai gan dažos gadījumos var būt lietderīgi iegūt objekta inerces momentu, pamatojoties uz vienkāršu punktu masu aritmētisko summu vai integrējot, praksē ir daudz rezultātu parastajām rotācijas formām un asīm, kuras jūs varat vienkārši izmantot, bez vajadzības to iegūt pirmais:
Ciets cilindrs (simetrijas ass):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Ciets cilindrs (centrālā diametra ass vai apļveida šķērsgriezuma diametrs cilindra vidū):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Cietā lode (centrālā ass):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Plāns sfērisks apvalks (centrālā ass):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Hoop (simetrijas ass, t.i., perpendikulāri caur centru):
I = MR ^ 2
Loka (diametra ass, t.i., visā apļa diametrā, ko veido aplis)
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Stienis (centrālā ass, perpendikulāra stieņa garumam):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Stienis (rotējošs ap galu):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Rotācijas inerce un rotācijas ass
Izpratne par to, kāpēc katrai rotācijas asij ir atšķirīgi vienādojumi, ir galvenais solis, lai izprastu inerces momenta jēdzienu.
Padomājiet par zīmuli: to var pagriezt, griežot to ap vidu, līdz galam vai pagriežot ap tā centrālo asi. Tā kā objekta rotācijas inerce ir atkarīga no masas sadalījuma ap rotācijas asi, katra no šīm situācijām ir atšķirīga, un tās aprakstīšanai ir nepieciešams atsevišķs vienādojums.
Jūs varat iegūt instinktīvu izpratni par inerces momenta jēdzienu, ja mērogojat šo pašu argumentu līdz 30 pēdu karoga stabam.
Griezt to galu galā būtu ļoti grūti - ja jūs to vispār spētu pārvaldīt -, savukārt stabu grozīt ap tā centrālo asi būtu daudz vieglāk. Tas ir tāpēc, ka griezes moments ir ļoti atkarīgs no attāluma no rotācijas ass un 30 pēdās karoga staba piemērs, pagriežot to galu pāri galam, katrs galējais gals ir 15 pēdu attālumā no ass rotācija.
Tomēr, ja jūs to pagriežat ap centrālo asi, viss ir diezgan tuvu asij. Situācija ir līdzīga smagā priekšmeta nēsāšanai rokas stiepiena attālumā vs. turot to cieši pie ķermeņa, vai darbinot sviru no gala vs. tuvu atbalsta punktam.
Tāpēc, lai aprakstītu tā paša objekta inerces momentu atkarībā no rotācijas ass, jums ir nepieciešams cits vienādojums. Jūsu izvēlētā ass ietekmē ķermeņa daļu attālumu no rotācijas ass, kaut arī ķermeņa masa paliek nemainīga.
Inerces momenta vienādojumu izmantošana
Stingra ķermeņa inerces momenta aprēķināšanas atslēga ir iemācīšanās izmantot un piemērot attiecīgos vienādojumus.
Apsveriet zīmuli no iepriekšējās sadaļas, kas ir vērpta gala galā pa centrālo punktu visā tā garumā. Lai gan tas nav aideālsstienis (piemēram, smailais gals lauza šo formu), to var modelēt kā tādu, lai ietaupītu objekta inerces atvasināšanas brīdi.
Modelējot objektu kā stieni, jūs izmantojat šādu vienādojumu, lai atrastu inerces momentu kopā ar zīmuļa kopējo masu un garumu:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Lielāks izaicinājums ir saliktu objektu inerces momenta atrašana.
Piemēram, apsveriet divas bumbiņas, kas savienotas kopā ar stieni (ko mēs uzskatīsim par bezmasu, lai vienkāršotu problēmu). Viena bumba ir 2 kg un novietota 2 m attālumā no rotācijas ass, bet otrā bumba ir 5 kg masā un 3 m attālumā no rotācijas ass.
Šajā gadījumā jūs varat atrast šī saliktā objekta inerces momentu, uzskatot katru bumbu par punktu masu un strādājot no pamatdefinīcijas, kas:
\ sākt {izlīdzināt} es & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ summa _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ beigas {izlīdzināts}
Ar abonementiem vienkārši nošķirot dažādus objektus (t.i., 1. bumbu un 2. bumbu). Tad divu bumbu objektam būtu:
\ sākt {izlīdzināt} es & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ teksts {kg} × (2 \; \ teksts {m}) ^ 2 + 5 \; \ teksts {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ beigas {izlīdzināts}
Inerces moments un leņķiskā impulsa saglabāšana
Leņķiskais impulss (lineārā impulsa rotācijas analogs) ir definēts kā rotācijas inerces (t.i., inerces momenta,Es) un tā leņķisko ātrumuω), ko mēra grādos / s vai rad / s.
Jūs neapšaubāmi būsiet iepazinies ar lineārā impulsa saglabāšanas likumu, un leņķiskais impulss tiek saglabāts tāpat. Leņķiskā impulsa vienādojumsL) ir:
L = Iω
Domājot par to, ko tas praksē nozīmē, tiek izskaidrotas daudzas fiziskas parādības, jo (ja nav citu spēku), jo lielāka ir objekta rotācijas inerce, jo zemāks ir tā leņķiskais ātrums.
Apsveriet ledus slidotāju, kurš griežas nemainīgā leņķa ātrumā ar izstieptām rokām, un ņemiet vērā, ka viņa izstieptās rokas palielina rādiusuRpar kuru tiek sadalīta viņa masa, kas noved pie lielāka inerces brīža nekā tad, ja rokas būtu tuvu ķermenim.
JaL1 tiek aprēķināts ar izstieptām rokām unL2pēc ieroču ievilkšanas jābūt vienādai vērtībai (jo tiek saglabāts leņķiskais impulss), kas notiks, ja viņš samazinās inerces momentu, ievelkot rokās? Viņa leņķiskais ātrumsωpalielinās, lai kompensētu.
Kaķi veic līdzīgas kustības, lai palīdzētu nokrist krītot uz kājām.
Izstiepjot kājas un asti, viņi palielina inerces momentu un samazina rotācijas ātrumu, un gluži pretēji, viņi var savilkt kājās, lai samazinātu inerces momentu un palielinātu rotācijas ātrumu. Viņi izmanto šīs divas stratēģijas, kā arī citus “iztaisnošanas refleksa” aspektus, lai nodrošinātu, ka viņu kājas piezemējas vispirms, un jūs varat redzēt atšķirīgas saritināšanās un izstiepšanās fāzes ar ātruma intervālu kaķa fotogrāfijās nolaišanās.
Inerces un rotācijas kinētiskās enerģijas moments
Turpinot paralēles starp lineāro kustību un rotācijas kustību, objektiem ir arī rotācijas kinētiskā enerģija tāpat kā lineārajai kinētiskajai enerģijai.
Padomājiet par bumbu, kas ripo pa zemi, gan rotējot ap centrālo asi, gan virzoties uz priekšu lineāri: Bumbas kopējā kinētiskā enerģija ir tās lineārās kinētiskās enerģijas summa.Ek un tā rotācijas kinētiskā enerģijaEpuvi. Paralēles starp šīm divām enerģijām atspoguļojas vienādojumos abām, atceroties, ka objekts ir inerces moments ir masas rotācijas analogs, un tā leņķiskais ātrums ir lineārā rotācijas analogs ātrumsv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Jūs varat skaidri redzēt, ka abiem vienādojumiem ir tieši tāda pati forma, ar rotācijas kinētiskās enerģijas vienādojumu aizstājot attiecīgos rotācijas analogus.
Protams, lai aprēķinātu rotācijas kinētisko enerģiju, objekta inerces brīdim būs jāaizstāj attiecīgā izteiksme telpāEs. Ņemot vērā bumbu un modelējot objektu kā cietu sfēru, vienādojums ir šāds:
\ begin {izlīdzināts} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ beigas {izlīdzināts}
Kopējā kinētiskā enerģija (Etot) ir šīs un bumbas kinētiskās enerģijas summa, tāpēc varat rakstīt:
\ begin {izlīdzināts} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { izlīdzināts}
1 kg bumbai, kas pārvietojas ar lineāru ātrumu 2 m / s, ar rādiusu 0,3 m un leņķa ātrumu 2π rad / s, kopējā enerģija būtu:
\ begin {izlīdzināts} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ teksts {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ teksts {J} \ end {izlīdzināts}
Atkarībā no situācijas objektam var būt tikai lineārā kinētiskā enerģija (piemēram, no tā nomesta bumba augstums, uz kuru nav vērsts griešanās) vai tikai rotācijas kinētiskā enerģija (bumba griežas, bet paliek vietā).
Atcerieties, ka tā irKopāenerģija, kas tiek saglabāta. Ja bumbu sper pie sienas bez sākotnējas rotācijas un tā atsitās ar mazāku ātrumu, bet ar piešķirtu griezienu, kā arī enerģiju zaudējot skaņai un siltumam, saskaroties, daļa sākotnējās kinētiskās enerģijas ir pārnesta uz rotācijas kinētisko enerģiju, un tānevariespējams pārvietoties tikpat ātri kā pirms atlēciena.