Vai esat kādreiz domājis, kā saistītas trigonometriskās funkcijas, piemēram, sinusa un kosinusa? Tos abus izmanto sānu un leņķu aprēķināšanai trijstūros, bet attiecības pārsniedz to.Kofunkcijas identitātesdodiet mums īpašas formulas, kas parāda, kā pārvērsties starp sinusu un kosinusu, tangensu un kotangentu, kā arī sekantu un kosekantu.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Leņķa sinuss ir vienāds ar tā papildinājuma kosinusu un otrādi. Tas attiecas arī uz citām funkcijām.
Vienkāršs veids, kā atcerēties, kuras funkcijas ir kopfunkcijas, ir tas, ka ir divas trigera funkcijaslīdzfunkcijasja kādam no tiem priekšā ir prefikss "co-". Tātad:
- sinusa unlīdzsine irlīdzfunkcijas.
- pieskāriens unlīdzpieskare irlīdzfunkcijas.
- sekants unlīdzsekanti irlīdzfunkcijas.
Mēs varam aprēķināt turp un atpakaļ starp kofunkcijām, izmantojot šo definīciju: Leņķa funkcijas vērtība ir vienāda ar papildinājuma kofunkcijas vērtību.
Tas izklausās sarežģīti, bet tā vietā, lai runātu par funkcijas vērtību kopumā, izmantosim konkrētu piemēru. The
Atcerieties: divi leņķi irpapildinaja tie sasniedz līdz 90 grādiem.
Funkciju identitātes grādos:
(Ievērojiet, ka 90 ° -xdod mums leņķa papildinājumu.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ gultiņa (90 ° - x) \\ \ gultiņa (x) = iedegums (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Kofunkcijas identitātes radiānos
Atcerieties, ka mēs varam rakstīt arī lietasradiāni, kas ir SI mērvienība leņķu mērīšanai. Deviņdesmit grādi ir tas pats, kas π / 2 radiāni, tāpēc mēs varam rakstīt arī šādas funkcijas funkcijas:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ gultiņa \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Kofunkcijas identitāšu pierādījums
Tas viss izklausās jauki, bet kā mēs varam pierādīt, ka tā ir patiesība? Pārbaudot to pāris trijstūru piemēros, varēsiet justies pārliecināts par to, taču ir arī stingrāks algebriskais pierādījums. Pierādīsim sinusā un kosinusa kopfunkciju identitātes. Mēs strādāsim radiānos, bet tas ir tas pats, kas izmantot grādus.
Pierādījums:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Pirmkārt, atmiņā atgriezieties pie šīs formulas, jo mēs to izmantosim mūsu pierādījumos:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Sapratu? LABI. Tagad pierādīsim: grēks (x) = cos (π / 2 - x).
Mēs varam pārrakstīt cos (π / 2 -x) kā šis:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
jo mēs zinām
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {un} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Tātad
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Tagad pierādīsim to ar kosinusu!
Pierādījums:
\ cos (x) = \ grēks \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Vēl viens sprādziens no pagātnes: atceraties šo formulu?
\ grēks (A - B) = \ grēks (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ grēks (B)
Mēs gatavojamies to izmantot. Tagad pierādīsim:
\ cos (x) = \ grēks \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Mēs varam pārrakstīt grēku (π / 2 -x) kā šis:
\ begin {izlīdzināts} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {izlīdzināts}
jo mēs zinām
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {un} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Tātad mēs saņemam
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Funkcijas kalkulators
Izmēģiniet dažus piemērus, kā patstāvīgi strādāt ar funkcijām. Bet, ja jūs iestrēgstat, matemātikas slavenībai ir kofunkciju kalkulators, kas pakāpeniski rāda kofunkcijas problēmu risinājumus.
Laimīgu aprēķinu!