Iedomājieties, ka jūs strādājat ar lielgabalu, kura mērķis ir sagraut ienaidnieka pils sienas, lai jūsu armija varētu iebrukt un pieprasīt uzvaru. Ja jūs zināt, cik ātri bumba pārvietojas, kad tā atstāj lielgabalu, un jūs zināt, cik tālu ir sienas, kāds palaišanas leņķis jums nepieciešams, lai šautu lielgabalu, lai veiksmīgi ietriektos sienās?
Šis ir lādiņu kustības problēmas piemērs, un jūs varat atrisināt šo un daudzas līdzīgas problēmas, izmantojot kinemātikas nemainīgus paātrinājuma vienādojumus un dažas pamata algebras.
Lādiņa kustībakā fiziķi apraksta divdimensiju kustību, kur vienīgais paātrinājums, ko attiecīgais objekts piedzīvo, ir gravitācijas dēļ pastāvīgs paātrinājums uz leju.
Uz Zemes virsmas pastāvīgs paātrinājumsair vienāds arg= 9,8 m / s2, un objekts, kurā notiek kustība, atrodasBrīvais kritiensar šo kā vienīgo paātrinājuma avotu. Vairumā gadījumu tas iet parabola ceļu, tāpēc kustībai būs gan horizontāla, gan vertikāla sastāvdaļa. Lai gan tam būtu (ierobežots) efekts reālajā dzīvē, par laimi, lielākā daļa vidusskolas fizikas šāviņu kustības problēmu ignorē gaisa pretestības efektu.
Varat atrisināt šāviņu kustības problēmas, izmantojot vērtībugun vēl kāda cita pamatinformācija par pašreizējo situāciju, piemēram, lādiņa sākotnējais ātrums un virziens, kādā tas pārvietojas. Mācīšanās atrisināt šīs problēmas ir būtiska, lai nokārtotu lielāko daļu fizikas ievadklases, un tā jūs iepazīstina ar vissvarīgākajiem jēdzieniem un paņēmieniem, kas jums būs nepieciešami arī vēlākos kursos.
Lādiņu kustību vienādojumi
Lādiņu kustības vienādojumi ir nemainīgi paātrinājuma vienādojumi no kinemātikas, jo gravitācijas paātrinājums ir vienīgais paātrinājuma avots, kas jums jāņem vērā. Četri galvenie vienādojumi, kas jums būs nepieciešami, lai atrisinātu visas lādiņu kustības problēmas, ir:
v = v_0 + pie \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} pie ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2kā
Šeit,vnozīmē ātrumu,v0 ir sākotnējais ātrums,air paātrinājums (kas ir vienāds ar leņķa paātrinājumugvisās šāviņu kustības problēmās),sir pārvietojums (no sākotnējās pozīcijas), un kā vienmēr jums ir laiks,t.
Šie vienādojumi tehniski attiecas tikai uz vienu dimensiju, un tos tiešām varētu attēlot ar vektoru lielumiem (ieskaitot ātrumuv, sākotnējais ātrumsv0 un tā tālāk), taču praksē šīs versijas varat vienkārši izmantot atsevišķi, vienreizxvirziens un vienreizy-direction (un, ja jums kādreiz ir bijusi trīsdimensiju problēma,zarī virziens).
Ir svarīgi atcerēties, ka tie irizmanto tikai pastāvīgai paātrināšanai, kas tos padara perfektus, lai aprakstītu situācijas, kur vienīgā ir gravitācijas ietekme paātrinājums, bet nav piemērots daudzām reālās situācijās, kur ir jābūt papildu spēkiem uzskatāms.
Pamata situācijās tas ir viss, kas jums nepieciešams, lai aprakstītu objekta kustību, bet, ja nepieciešams, varat iekļaut citu faktori, piemēram, augstums, no kura tika palaists šāviņš, vai pat tos atrisina lādiņa augstākajam punktam uz tā ceļš.
Lādiņu kustības problēmu risināšana
Tagad, kad esat redzējis četras šāviņu kustības formulas versijas, kas jums būs jāizmanto lai atrisinātu problēmas, jūs varat sākt domāt par stratēģiju, kuru izmantojat, lai atrisinātu lādiņu kustību problēmu.
Pamata pieeja ir sadalīt problēmu divās daļās: viena horizontālajai kustībai un otra vertikālajai kustībai. To tehniski sauc par horizontālo un vertikālo komponentu, un katram no tiem ir atbilstošs lielumi, piemēram, horizontālais ātrums, vertikālais ātrums, horizontālais pārvietojums, vertikālais pārvietojums un tā tālāk.
Izmantojot šo pieeju, jūs varat izmantot kinemātiskos vienādojumus, atzīmējot šo laikutir vienāds gan horizontālajiem, gan vertikālajiem komponentiem, taču tādām lietām kā sākotnējais ātrums sākotnējā vertikālajam ātrumam un sākotnējam horizontālajam ātrumam būs dažādas sastāvdaļas.
Svarīgi saprast, ka divdimensiju kustībaijebkurškustības leņķi var sadalīt horizontālā un vertikālā komponentā, bet kad jūs to darīsit, būs viena attiecīgā vienādojuma horizontālā versija un viena vertikālā versija.
Novārtā atstarojot gaisa pretestības ietekmi, tiek ievērojami vienkāršotas šāviņu kustības problēmas, jo horizontālajam virzienam nekad nav paātrinājums šāviņa kustības (brīvā kritiena) problēmā, jo gravitācijas ietekme darbojas tikai vertikāli (t.i., virzienā uz Zeme).
Tas nozīmē, ka horizontālā ātruma komponents ir tikai nemainīgs ātrums, un kustība apstājas tikai tad, kad gravitācija noved lādiņu līdz zemes līmenim. To var izmantot, lai noteiktu lidojuma laiku, jo tas ir pilnībā atkarīgs noyvirziena kustību, un to var pilnībā izstrādāt, pamatojoties uz vertikālo nobīdi (t.i., laikutkad vertikālā nobīde ir nulle, tiek norādīts lidojuma laiks).
Trigonometrija šāviņu kustības problēmās
Ja attiecīgā problēma dod jums palaišanas leņķi un sākotnējo ātrumu, jums būs jāizmanto trigonometrija, lai atrastu horizontālā un vertikālā ātruma komponentus. Kad esat to izdarījis, problēmu var faktiski izmantot iepriekšējā sadaļā aprakstītajās metodēs.
Būtībā jūs izveidojat taisnleņķa trīsstūri ar hipotenūzu, kas slīpi palaišanas leņķī (θ) un ātruma lielums kā garums, un tad blakus esošā puse ir ātruma horizontālā sastāvdaļa, bet pretējā puse ir vertikālais ātrums.
Uzzīmējiet taisnleņķa trīsstūri, kā norādīts, un redzēsiet, ka atrodat horizontālos un vertikālos komponentus, izmantojot trigonometriskās identitātes:
\ teksts {cos} \; θ = \ frac {\ text {blakus}} {\ text {hipotenūze}}
\ īsziņa {grēks} \; θ = \ frac {\ text {iepretim}} {\ text {hipotenūze}}
Tātad tos var pārkārtot (un ar pretēju =vy un blakus =vx, t.i., vertikālā ātruma komponents un attiecīgi horizontālā ātruma komponents, un hipotenūza =v0, sākotnējais ātrums), lai dotu:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 grēks (θ)
Šī ir visa trigonometrija, kas jums jāveic, lai risinātu lādiņu kustības problēmas: pievienojot palaišanas leņķi vienādojums, izmantojot sinusa un kosinusa funkcijas kalkulatorā un reizinot rezultātu ar skaitļa sākotnējo ātrumu šāviņš.
Tātad, lai veiktu piemēru, kā to izdarīt, ar sākotnējo ātrumu 20 m / s un palaišanas leņķi 60 grādiem, sastāvdaļas ir:
\ sākt {izlīdzināt} v_x & = 20 \; \ teksts {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ teksts {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ teksts {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {aligned}
Šāviņu kustības problēmas piemērs: eksplodējošs salūts
Iedomājieties, ka salūts ir aprīkots ar drošinātāju tā, lai tas eksplodētu tā trajektorijas augstākajā punktā, un tas tiek palaists ar sākotnējo ātrumu 60 m / s 70 grādu leņķī pret horizontāli.
Kā jūs izstrādātu, kādā augstumāhtas eksplodē plkst. Un kāds būtu laiks no palaišanas, kad tas eksplodētu?
Šī ir viena no daudzajām problēmām, kas saistīta ar šāviņa maksimālo augstumu, un šo problēmu risināšanas triks ir tas, ka maksimālajā augstumāyātruma sastāvdaļa ir 0 m / s uz brīdi. Pievienojot šo vērtību vietneivy un izvēloties piemērotāko no kinemātiskajiem vienādojumiem, jūs varat viegli tikt galā ar šo un jebkuru līdzīgu problēmu.
Pirmkārt, aplūkojot kinemātiskos vienādojumus, šis izlec (pievienojot abonementus, lai parādītu, ka mēs strādājam vertikālā virzienā):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Šis vienādojums ir ideāls, jo jūs jau zināt paātrinājumu (ay = -g), sākotnējais ātrums un palaišanas leņķis (lai jūs varētu izstrādāt vertikālo komponentuvy0). Tā kā mēs meklējam vērtībusy (t.i., augstumsh) kadvy = 0, mēs varam aizstāt nulli ar galīgo vertikālā ātruma komponentu un no jauna sakārtotsy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Tā kā ir jēga saukt augšupvērsto virzienuy, un kopš paātrinājuma smaguma dēļgir vērsts uz leju (t.i.,yvirziens), mēs varam mainītiesay priekš -g. Visbeidzot, piezvanotsy augstumsh, mēs varam rakstīt:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Tātad vienīgais, kas jums jāizstrādā, lai atrisinātu problēmu, ir sākotnējā ātruma vertikālā sastāvdaļa, ko varat izdarīt, izmantojot trigonometrisko pieeju no iepriekšējās sadaļas. Tātad, izmantojot informāciju no jautājuma (60 m / s un 70 grādi līdz horizontālajai palaišanai), tas dod:
\ sāciet {izlīdzināts} v_ {0y} & = 60 \; \ teksts {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ teksts {m / s} \ beigas {izlīdzināts}
Tagad jūs varat atrisināt maksimālo augstumu:
\ begin {izlīdzināts} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {aligned}
Tātad salūts eksplodēs aptuveni 162 metru attālumā no zemes.
Turpinot piemēru: Lidojuma laiks un nobrauktais attālums
Pēc lodes kustības problēmas pamatu atrisināšanas, pamatojoties tikai uz vertikālo kustību, pārējo problēmu var viegli atrisināt. Pirmkārt, laiku no palaišanas brīža, kad drošinātājs eksplodē, var atrast, izmantojot kādu no citiem nemainīgā paātrinājuma vienādojumiem. Aplūkojot opcijas, izsakiet šādu izteicienu:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
ir laikst, ko vēlaties uzzināt; pārvietojums, kuru jūs zināt par maksimālo lidojuma punktu; sākotnējais vertikālais ātrums; un ātrums maksimālā augstuma brīdī (par kuru mēs zinām, ka tā ir nulle). Tātad, pamatojoties uz to, vienādojumu var pārkārtot, lai sniegtu izteicienu lidojuma laikam:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Tātad vērtību ievietošana un atrisināšanatdod:
\ sākt {izlīdzināt} t & = \ frac {2 × 162,19 \; \ teksts {m}} {56,38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {aligned}
Tātad salūts eksplodēs 5,75 sekundes pēc palaišanas.
Visbeidzot, jūs varat viegli noteikt nobraukto horizontālo attālumu, pamatojoties uz pirmo vienādojumu, kas (horizontālā virzienā) norāda:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Tomēr, atzīmējot, ka ES nav paātrinājumaxvirziens, tas ir vienkārši:
v_x = v_ {0x}
Tas nozīmē, ka ātrumsxuguņošanas laikā ir vienāda. Atsaucoties uzv = d/t, kurdir nobrauktais attālums, to ir viegli redzētd = vt, un tāpēc šajā gadījumā (arsx = d):
s_x = v_ {0x} t
Tātad jūs varat aizstātv0x ar agrāku trigonometrisko izteiksmi ievadiet vērtības un atrisiniet:
\ sāciet {izlīdzināt} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ teksts {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ teksts {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {aligned}
Tātad pirms sprādziena tas ceļos ap 118 m.
Papildu šāviņu kustības problēma: Dud uguņošana
Lai strādātu ar papildu problēmu, iedomājieties uguņošanu no iepriekšējā piemēra (palaistais sākotnējais ātrums 60 m / s 70 grādu leņķī pret horizontāli) neizdevās uzsprāgt parabola virsotnē, un tā vietā nolaižas uz zemes nesprāguši. Vai jūs varat aprēķināt kopējo lidojuma laiku šajā gadījumā? Cik tālu no palaišanas vietas tas nonāks horizontālā virzienā, jeb, citiem vārdiem sakot, kas irdiapazonsno šāviņa?
Šī problēma darbojas principā vienādi, kur atrodas ātruma un pārvietošanās vertikālās sastāvdaļas galvenās lietas, kas jāņem vērā, lai noteiktu lidojuma laiku, un no tā jūs varat noteikt diapazons. Tā vietā, lai detalizēti izpētītu risinājumu, varat to atrisināt pats, pamatojoties uz iepriekšējo piemēru.
Ir šāviņa diapazona formulas, kuras varat meklēt vai iegūt no nemainīgā paātrinājuma vienādojumiem, taču tas nav tiešām vajadzīgs, jo jūs jau zināt lādiņa maksimālo augstumu, un no šī brīža tas ir tikai brīvā kritienā smagums.
Tas nozīmē, ka jūs varat noteikt laiku, kad salūts nokrīt atpakaļ uz zemes, un pēc tam to pievienot lidojuma laikam līdz maksimālajam augstumam, lai noteiktu kopējo lidojuma laiku. Kopš tā laika tas ir tas pats process, kā izmantot nemainīgu ātrumu horizontālā virzienā līdzās lidojuma laikam, lai noteiktu diapazonu.
Parādiet, ka lidojuma laiks ir 11,5 sekundes un darbības rādiuss ir 236 m, ievērojot, ka jums tas būs nepieciešams aprēķiniet ātruma vertikālo komponentu punktā, kas ietriecas zemē kā starpposms solis.