Vektori un skalāri: kas tie ir un kāpēc tie ir svarīgi?

Ikdienā lielākā daļa cilvēku lieto šos terminusātrumsunātrumssavstarpēji aizstājami, bet fiziķiem tie ir divu ļoti dažādu daudzuma veidu piemēri.

Mehānikas problēmas risina objektu kustību, un, lai gan jūs varat vienkārši aprakstīt kustību ātruma izteiksmē, īpašais virziens, kurā kaut kas notiek, bieži ir kritiski svarīgs.

Līdzīgi objektiem pieliktie spēki var nākt no dažādiem virzieniem - padomājiet, piemēram, par pretējiem vilcieniem virves vilkšanā - tātad fiziķiem, aprakstot šādas situācijas, ir jāizmanto lielumi, kas raksturo gan lietu, piemēram, spēku, lielumu, gan virzienu, kādā viņi tēlot. Šos daudzumus saucvektori​.

TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)

Vektoram ir gan lielums, gan noteikts virziens, bet skalārajam lielumam ir tikai lielums.

Galvenā atšķirība starp vektoriem un skalāriem ir tā, ka vektora lielums to pilnībā neapraksta; jābūt arī noteiktam virzienam.

Vektora virzienu var norādīt daudzos veidos, izmantojot pozitīvas vai negatīvas zīmes tā priekšā, izsakot to komponentu veidā (skalārās vērtības blakus attiecīgajam

Turpretī skalārs ir tikai vektora lielums bez jebkādas papildu piezīmes vai informācijas - piemēram, ātrums ir ātruma vektora skalārais ekvivalents. No matemātiskā viedokļa tā ir vektora absolūtā vērtība.

Tomēr daudzi lielumi, piemēram, enerģija, spiediens, garums, masa, jauda un temperatūra, ir skalāru piemēri, kas nav tikai attiecīgā vektora lielums. Piemēram, jums nav jāzina masas “virziens”, lai iegūtu pilnīgu priekšstatu par to kā par fizisku īpašību.

Ir daži pretrunīgi fakti, kurus jūs varat saprast, kad zināt atšķirību starp skalāru un vektors, piemēram, ideja, ka kaut kam varētu būt nemainīgs ātrums, bet nepārtraukti mainīgs ātrums. Iedomājieties automašīnu, kas brauc ar nemainīgu ātrumu 10 km / h, bet riņķo. Tā kā vektora virziens ir daļa no tā definīcijas, automašīnas ātruma vektors vienmēr ir mainoties šajā piemērā, neskatoties uz to, ka vektora lielums (t.i., tā ātrums) ir nemainīgs.

Fizikā ir daudz vektoru piemēru, taču daži no vispazīstamākajiem piemēriem ir spēks, impulss, paātrinājums un ātrums, kas visi ir ļoti raksturīgi klasiskajā fizikā. Ātruma vektoru varēja parādīt kā 25 m / s uz austrumiem, −8 km / hyvirziens,​v​= 5 m / si+ 10 m / sjvai 10 m / s 50 grādu virzienā nox- ass.

Momentum vektori ir vēl viens piemērs, kuru varat izmantot, lai redzētu, kā fizikā tiek parādīts vektora lielums un virziens. Tie darbojas tāpat kā ātruma vektoru piemēri ar 50 kg m / s uz rietumiem, −12 km / hzvirziens,​lpp​= 12 kg m / si- 10 kg m / sj- 15 kg m / skun 100 kg m / s 30 grādos nox- asis ir piemērs tam, kā tos varētu parādīt. Tie paši pamatpunkti attiecas uz paātrinājuma vektoru parādīšanu, vienīgā atšķirība ir m / s vienība² un vektoram bieži lietotais simbols,​a​​.

Spēks ir pēdējais no šiem vektoru izteicienu piemēriem, un, lai gan ir daudz līdzību, izmantojot cilindriskas koordinātas (r​, ​θ​, ​z) Dekarta koordinātu vietā var palīdzēt parādīt citus to parādīšanas veidus. Piemēram, jūs varat uzrakstīt spēku kā​F​= 10 Nr+ 35 N𝛉, spēkam ar komponentiem radiālajā virzienā un azimutālajā virzienā, vai aprakstiet gravitācijas spēku uz 1 kg objekta uz Zemes kā 10 N -rvirziens (t.i., uz planētas centru).

Diagrammās vektori tiek parādīti, izmantojot bultiņas, ar vektora lielumu, ko attēlo bultiņas garums, un tā virzienu, ko norāda bultiņas virziens. Piemēram, lielāka bulta parāda, ka spēks ir lielāks (t.i., vairāk ņūtonu vai lielāks) nekā cits spēks.

Vektoram, kas parāda kustību, piemēram, impulsu vai ātruma vektoru,nulles vektors(t.i., vektors, kas nenorāda ātrumu vai impulsu) tiek parādīts, izmantojot vienu punktu.

Ir vērts to atzīmēt, jo bultiņas garums apzīmē vektora lielumu un tā orientācija - vektora virzienu. Veidojot vektoru diagrammu, ir lietderīgi mēģināt būt pietiekami precīzam. Tam nav jābūt perfektam, bet, ja vektors​a​ir divreiz lielāks par vektoru​b​, bultiņai jābūt aptuveni divreiz garākai.

Vektoru saskaitīšana un vektoru atņemšana ir nedaudz sarežģītāka nekā skalāru pievienošana un atņemšana, taču jūs varat viegli uztvert jēdzienus. Varat izmantot divas galvenās pieejas, un katrai no tām ir potenciāls pielietojums atkarībā no konkrētās problēmas, kuru jūs risināt.

Pirmais un visvieglāk izmantot, ja jums ir doti divi vektori komponentu formā, ir vienkārši pievienot atbilstošos komponentus tāpat kā parastos skalārus. Piemēram, ja jums vajadzēja pievienot abus spēkus​F​​₁ = 5 Ni+ 10 Njun​F​​₂ = 6 Ni+ 15 Nj+ 10 Nk, jūs pievienotuikomponentiem, tadjsastāvdaļas un visbeidzotkšādi komponenti:

Vektoru atņemšana darbojas tieši tāpat, izņemot to, ka jūs atņemat daudzumus, nevis pievienojat tos. Vektoru pievienošana ir arī komutatīva, piemēram, parastā pievienošana ar reāliem skaitļiem, tātad​a ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​a​​.

Jūs varat arī veikt vektoru pievienošanu, izmantojot bultiņu diagrammas, uzliekot vektora bultiņas līdz galam un pēc tam uzzīmējot jaunu vektora bultiņu vektoru summai, kas savieno pirmās bultiņas asti ar otrais.

Ja jums ir vienkāršs vektora papildinājums ar vienux-direction un vēl viensyvirziens, diagramma veido taisnleņķa trīsstūri. Jūs varat pabeigt vektora pievienošanu un noteikt iegūtā vektora lielumu un virzienu, “atrisinot” trijstūri, izmantojot trigonometriju un Pitagora teorēmu.

Vektoru reizināšana ir nedaudz sarežģītāka nekā reālu skaitļu reizināšana ar skalāriem, bet divas galvenās reizināšanas formas ir punktu reizinājums un krustojuma reizinājums. Punktu produktu sauc par skalāru, un to definē kā:

vai

kurθir leņķis starp diviem vektoriem, un 1., 2. un 3. abonenti apzīmē vektora pirmo, otro un trešo komponentu. Punkta produkta rezultāts ir skalārs.

Šķērsprodukts ir definēts kā:

ar komatiem atdala rezultāta komponentus dažādos virzienos.